Краткий анализ основ геометрий 3 страница

Глубочайший кризис, охвативший всю математику, и описанный М. Клайном в книге [3], в этом крике души исстрадавшегося математика, обусловлен также и тем, что основания современной математики представляют собой логический винегрет путаницы количественных и качественных категорий (причем в неявном виде) при почти полном отсутствии диалектики. Кризис будет продолжаться до тех пор, пока математики не «почистят» свои основания диалектикой.

1.4. Математические иллюзии

Начнем с геометрического пространства. Понятие «геометрическое пространство» зародилось еще в древнейшие времена и с одной стороны до сих пор не имеет однозначного определения, а с другой, оставаясь основным геометрическим понятием, вообще не может являться элементом статической геометрии. Однако все остальные математические понятия и принципы статической геометрии имеются, существуя как бы независимо от пространства.

По-видимому, по этой причине понятие - «пространство» не было востребовано при аксиоматическом построении геометрии, хотя Риман и упоминает, «геометрия предполагает заданным заранее как понятие пространство…». Но заданное понятие «пространство» не является каким-то второстепенным понятием. Оно мыслится как основа любой геометрии, оно первично ко всем фигурам, включаемым в пространство, и отсутствие его в структуре геометрических понятий может свидетельствовать о том, что построение геометрии, не связанной с реальным пространством, совершенно некорректно, или о том, что это понятие не включается в соответствующую геометрию.

Первичность пространства ко всем геометрическим фигурам предполагала, что определение этого понятия следовало производить абстрагированием или другим способом от существующего физического пространства еще до того, как началось формирование первых геометрических аксиом, свойства которых «вытекали» бы из свойства пространства и тел, находящихся в нем. Однако определялось пространство постулированием отдельных не связанных между собой свойств. В результате было получено не пространство, а те разрозненные требования к свойствам пространства (о них далее), которые бы удовлетворяли механическому пониманию бескачественного пустого вместилища. Вместилища, способного «нести» формальные функции пространства, достаточные для статической геометризации объектов природы, но не для отображения реального пространства.

Аксиомы и постулаты, обосновывающие отдельные фигуры - вторичны частности по отношению к пространству уже потому, что аксиоматизируемые фигуры могут «располагаться» только в определенном пространстве, которое обладает конкретными свойствами, и свойства образуемых фигур должны быть подобны свойствам пространства. То обстоятельство, что все современные геометрии начинаются с нахождения абстрактных аксиом, не сохраняющих ни одного природного свойства, из которых структурируется определенная геометрия в неопределенном пространстве, есть поразительнейший нонсенс, обусловивший сначала геометрии, а затем и всей математике, статус «продукта человеческого разума».

Современные геометрии строятся аксиоматически аналогично статической геометрии Евклида, в которой между фигурами и их элементами отсутствуют качественные связи, и потому эти элементы при построении «прилепляются» к фигурам случайным образом по далеко не научному методу: «куда кривая выведет». Причем, «прилепляются» в движении с нарушением законов статической геометрии, запрещающей механическое движение. И уже после построения новой геометрии определяется вид, к которому она якобы относится, но не определяется, в каком же пространстве находятся фигуры «новой неевклидовой» геометрии.

То есть все геометрические построения, вопреки утверждениям математиков, проводятся индуктивным методом от частного к общему. А поскольку в творчестве аксиом не ограничен ни один математик, то их можно наплодить великое множество, а вместе с ними, вероятно, и геометрий, причем ничем между собой не связанных и, возможно, противоречивых (как, например, геометрии Лобачевского и Римана). К тому же движение от частного к общему (от аксиом к геометриям как к абстракциям пространства природы) совершалось не в классической форме. Происходило не отвлечение от природных свойств, а направленный выбор тех из них, которые обеспечивали построение некоторой геометрии. Поскольку результат абстрагирования оставался неизвестным даже после построения геометрии, то невозможно было ответить на вопрос: «Разворачиваются» ли все получаемые геометрии в одном пространстве или каждая из них имеет собственное пространство. И если «собственные» пространства имеются, то чем они различаются между собой?

Геометры оказались в положении того незадачливого механика, который взялся собирать большегрузную машину, имея в избытке все необходимые детали: двигатели, колеса, всевозможные трансмиссии, кузова, электрооборудование и т.д. от различных механизмов, кроме рамы. О необходимости которой он даже не имеет представления (она-то и обусловливает пространственную структуру тяжелого автомобиля). Конечно, он сможет собрать десятки различных агрегатов: рычащих, гудящих, крутящихся и даже движущихся, некоторые из которых, не исключено, и приспособить можно будет к каким-то полезным работам, но он никогда не построит большегрузный автомобиль (если, конечно, не изобретет рамы).

Геометры тоже «наизобретали», на основе аксиом, десятки противоречивых геометрий (их может несколько успокаивать только то обстоятельство, что в других разделах математики «наизобретали» не меньше). И сейчас усиленно разбираются, вместе с физиками (последние виноваты только в том, что поверили математикам на слово) - какая же из них соответствует природе (аналог у механика - какой же из агрегатов соответствует грузовику?). Вроде бы, у каждой из них есть некоторые свойства аналогичные природным, но в таком случае, почему их много и они между собой не связаны, более того, противоречат друг другу? Ведь не может же быть такого, чтобы в одном пространстве природы «работало» сразу несколько логически противоречивых геометрий. И, главное: В каком же пространстве они «находятся»? Вопрос, на который ответа еще не находится.

Считается, что математика является абстрактной наукой. Напомним, понятие «абстракция» включает два представления:

научное - отвлечение в процессе познания от несущественных сторон рассматриваемого явления с целью раскрытия существенных черт (выше была приведена несколько иная форма представления об абстрагировании);

метафизическое - рассматривающее свойства и отношения в отрыве от материального носителя.

Однако, начиная свои построения с аксиом (не от целого, а от частностей) и не только геометрических, математики ни от чего не отвлекаются (абстрагируются), (то есть не производят действия, предусмотренного первым пунктом определения абстракции). Они определяют правила получения аксиом, формы их взаимосвязей и выводят теоремы, логически подтверждающие эти взаимосвязи. Абстракция во всех этих построениях не просматривается, поскольку не выявлен предмет - целое, от которого следует абстрагироваться (то же пространство, например), и, следовательно, нет основания считать геометрию (раздел математики, а может быть и всю математику) абстрактной наукой. Здесь что-то в понимании математики как абстрактного предмета не вяжется со словом «абстракция».

Но математики абсолютно уверены, что математические методы, и в частности геометрические, есть абстрагирование от природных свойств, что они работают дедуктивными методами и частные положения и понятия, выводятся ими из общих положений и понятий (из аксиом, постулатов, правил, законов). (Получается, что пространство - частное понятие, и потому его до сих пор не определили даже аксиоматически.) Однако ни аксиома, ни закон и даже ни правило, не являются пространством и тем более природой или целым. Они суть некоторые представления, полученные при изучении природы путем разложения единой природы (целого) на отдельные элементы, понятия или определения, а потому отсутствующие в природе, но присутствующие в головах людей.

Эти удивительные «дедуктивные» представления просто ничем невозможно объяснить. Перепутать индукцию и дедукцию (все равно, что поставить телегу впереди лошади) можно было, только повинуясь многовековой традиции освященной авторитетом гениев. И гениями были древние греки - Платон и Аристотель, особенно последний, развивший и обосновавший логические и аксиоматические методы.

Именно с логического обоснования аксиом начинается геометрия Евклида. И начинается с ясного понимания того, что принципы и понятия геометрии являются абстракциями от реального мира и потому применимы и к реальному миру, и к миру геометрии, поскольку охватывают, в абстрактном представлении, основные черты реальных природных предметов. То есть, по предположению греков, обладают определенной степенью общности и первичности, как в геометрии, так и в реальном мире.

К абстрактному отображению элементов внешней реальности древние греки относили такие первичные (основные) геометрически неопределяемые (?) понятия, как точка, прямая, число. Они оставались неопределяемыми логическими методами постольку, как отмечал Аристотель, поскольку для основных понятий не существует исходных посылок. И потому обоснование основных первичных понятий начиналось с аксиом - со столь понятных и очевидных истин, что справедливость их не вызывала и до сих пор не вызывает никакого сомнения. Другие понятия - фигуры; треугольник, квадрат, куб, окружность и т.д. определялись посредством первичных понятий.

Имелись только некоторые разногласия относительно того, откуда человек получает эти исходные представления, формулируя свои аксиомы. Исходными носителями этих разногласий были те же Платон и Аристотель. Для Платона геометрические аксиомы – истинное воплощение идей. Вот что он пишет о геометрах в «Государстве» [3]:

«Разве ты не знаешь, что, хотя они и используют видимые формы и рассуждают о них, мыслят они не о самих формах, а об идеалах, с которыми не имеют сходства; не о фигурах, которые они чертят, а об абсолютном квадрате, и абсолютном диаметре… и что в действительности геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному взору?»

Для Аристотеля истина познается безошибочной интуицией, а аксиомы отображают эту истину и являются основой для рассуждений доказательств и математических выводов. Методология логических взаимосвязей, тоже обоснованная Аристотелем, позволяла получать, путем логичных рассуждений, отталкиваясь от первичных понятий правильные заключения о предмете рассуждения: по дедукции, по индукции, по аналогии и т.д. Отметим: дедукция - логическое умозаключение от общего к частному, от общих суждений к частным или другим общим выводам. Индукция - умозаключение от частных, единичных случаев к общему выводу, от отдельных фактов к обобщениям [5]. Причем, единственный из этих методов – рассуждение по дедукции - гарантировал получение заключения такой же надежности, как и используемые посылки. Эта истина, как полагают, и была положена в основу построения геометрии. А поскольку аксиомы, по определению, оказывались общими и по отношению к природе, и по отношению к геометрии, то именно они и становились той отправной точкой, которая использовалась для «дедуктивного» построения основ как геометрии, так и других разделов математики.

Итак, перед нами действительно абстрактный метод. Но не тот научный метод, о котором говорилось выше, а иллюзия абстрактного метода. Вымышленная абстракция начинается с бескачественного определения простых, основных «абстрактных» и потому отсутствующих в природе явлений: точка, прямая, плоскость и т.д. и предписывания их природе. С простых и столь очевидных истин, что ни у кого даже не возникает вопроса: А нужны ли геометрии такие посылки и аксиомы? И абстрагированы ли они от природных свойств?

Однако, с позиций логики, в справедливости их невозможно усомниться. Эти понятия, как уже говорилось, по мнению древних греков, одинаково употребимы как в пространстве реальном, так и в пространстве геометрическом. (Свойства которого никому не известны, но известно, что геометрические фигуры можно, с одинаковым успехом, строить как в голове, так и на листе бумаги, и на поверхности Земли, что и обусловливает им воображаемую общность.) И потому аксиомы как бы становятся общими для обоих пространств и, следовательно, посылками для «дедуктивного доказательства». Именно такая «дедукция» от частностей - аксиом, отображающих одно, или ни одного, качества к общему - геометриям и обусловила появление множества взаимно противоречивых и несводимых к одной геометрий. Именно она и не позволила получить единое представление о качествах как реального, так и геометрического пространства и все дюжины геометрий, полученные методом «дедукции», до сих пор подвешены в воздухе, точнее в координатных системах бескачественных пространств, и таких же геометрий, ибо получить качественные представления из бескачественных посылок просто невозможно.

Здесь следует отметить, что не только в математике господствует метод индуктивного мышления. Практически вся современная европеизированная наука, изучающая естествознание, не имеет в своем арсенале понятия «целого» и потому базируется на том же методе индуктивного мышления. Она зарождалась с описательно – наблюдательного рассмотрения явлений окружающего мира, с эмпирического исследования его отдельных частей, с определения аксиом и постулатов, некоторым образом характеризующих эти явления или части, позволяя в какой-то мере объяснять их. Таким образом, естественные науки развивались от частного (индукция) к общему (целому). «Искали», опираясь на категории механистической философии, общие закономерности природы, представляя реальность некоторым «большим» логически связанным механизмом. И потеряли цель изучения, получив что-то «громадное», неопределенное, не имеющее никакого отношения к природе и, следовательно, к целому. Поэтому понятие целое в современной науке не наличествует. И как следствие этого отсутствия, потеряно представление о наличии качеств в математике.

Отсюда, из понимания наличия или отсутствия качеств в математике и в частности в геометрии, и вытекает вторая большая математическая иллюзия. Иллюзия того, что математика является только количественной наукой.

Удивительно, но взгляд на математику как на количественную науку, порожденный 2500 лет назад пифагорейской школой в Кратоне на юге Италии, не просто ни разу не пересматривался, но и до сих пор не подвергается никакому сомнению. Даже Клайн, критически анализируя все аспекты возможных ошибок и противоречий в основаниях математики в работе [3], совершенно не обратил внимание на бескачественный аппарат математики. Единицы математиков замечают противоречия в определениях математических понятий, в количественных математических операциях, наличие несоответствий и ошибок в проведении некоторых расчетов, и то, что почти все математические операции проводятся не с бескачественными «голыми» числами (разве что в первом классе, да и там опосредованно), а с определенными предметами или свойствами. То есть имеют явное качественное сопровождение. И, похоже, даже не возникает вопросов: А имеются ли в математике «голые» числа? Не обладает ли числовое поле особыми, не вещественными свойствами?

Пифагорейцы, наблюдая природу, отмечали, что самые различные качественные взаимосвязи и явления природы проявляют одинаковые математические свойства, и, опираясь на эти наблюдения, пришли к выводу о том, что именно математические свойства отображают сущность явлений и эта сущность скрывается в числе и числовых отношениях. А потому «голое» число у них стало началом всего, «единицей бытия». А все «тела» стали составляться из этих фундаментальных бескачественных единиц, образующих, в различных комбинациях, всевозможные геометрические фигуры. И потому, развиваясь в своей совокупности, «единицы бытия» и стали представлять в математике материальные объекты. А само бескачественное число приобрело статус «материи» (субстанции, не имеющей качеств, такой же бескачественной, как и окружающее геометрическое пространство). И как констатирует М. Клайн [3]: « …пифагорейцы, развив и усовершенствовав свои учения, начали рассматривать числа как абстрактные понятия, а объекты как конкретные реализации чисел».

Клайн противопоставляет наше понимание чисел пониманию пифагорейцев: «Учение пифагорейцев может показаться нам странным, потому что для нас числа абстрактные понятия, а вещи, физические или материальные объекты. Нам привычное понятие «число» возникло в результате абстрагирования, а ранним пифагорейцам эта абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами» (т.е. предметами и, следовательно, они абстрагировались от реальности. – Авт.).

Из этого абзаца не становится понятным, что же странного в понимании чисел пифагорейцами, и в чем же отличие нашего абстрагирования от абстрагирования пифагорейцев. И пифагорейцы абстрагировались (иначе они не пришли бы к числу) и мы, как нам кажется, абстрагируемся от природы (какова методология абстрагирования, в общем-то, несущественно, главное - какой получается результат). И пифагорейцы и мы видим за числами физические объекты. И пифагорейцы и мы отображаем эти объекты в «голых» числах и, следовательно, и их и наши отображения не несут в себе никаких качественных показателей, и эти числа каждый понимает так, как ему хочется: и фигурами, и точками, и частицами, и звездами, и даже Вселенной.

Главное, что не просто объединяет, а является основой понимания числа нами и пифагорейцами, заключается в том, что эти числа не несут в математике никакой качественной нагрузки. Они безразмерностны и обезличены. Они отображают только количественные величины и сами по себе (и в математике), как полагают даже философы, являются абсолютными абстракциями, а математика становится как бы наукой, оперирующей только с количественными отношениями абстрактных чисел. И это обстоятельство закреплено в определении математики как «науки, изучающей количественные отношения и пространственные формы» [6].

Отметим, что литературы, посвященной анализу качественного аспекта математической размерности, почти не встречается. Большинство математиков даже не подозревают о существовании такой проблемы. И весьма отрадно, что еще в 1996 г. в издательстве «Транспорт» вышла небольшая, но очень изящная и насыщенная монография «О взаимодействии размерностей в математических преобразованиях» А.Н. Митрохина, которую математики, похоже, не заметили [6].

Автор, исследуя проблему количественных и качественных взаимосвязей в математике, констатирует: «...математика является в настоящее время одной из самых неточных наук. Не в том смысле, что с ее помощью невозможно до какого угодно знака вычислить физическую константу p, или определить любую степень числа, или решить другие, более сложные количественные задачи, а в том, что она через свои понятия, определения и структуры объективно формирует в человеческом сознании искаженное миросозерцание, касающееся сферы взаимоотношений количественной и качественной категорий. Причиной такого положения является то, что сама математика как наука поставлена человеком на ложное основание, покоящееся на догме, идущей из глубины веков и состоящей в том, что количественная категория (число) может быть отделена от качественной и может самостоятельно развиваться. (п/ж курсив везде наш. – Авт.)

Одним из доказательств несостоятельности такой постановки вопроса может служить непонимание и неразрешимость в ее рамках «радианной» проблемы. А в целом в математике и смежных с ней точных науках существует целый букет противоречий и неувязок, образовавшихся в результате утверждения этой догмы в качестве аксиомы в науке. По этой причине, как это ни парадоксально, математика в научном мире зачастую воспринимается как «доктрина, в которой мы не знаем, ни о чем говорим, ни верно ли то, что мы говорим» или «…как наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями», т.е. математические знания и результаты математических преобразований в среде ученых ставятся под сомнение и это находит отражение в отдельных трудах, посвященных взаимодействию математики и тесно связанных с ней прикладных наук, когда математические расчеты предлагается проверять на здравый смысл, в том числе в отдельных случаях это представлено в анекдотичной форме.

Апофеозом научного заблуждения при этом можно считать слова, приведенные, например, в работе Г.А. Аракеляна: «… когда физика как наука о природе достигает уровня, при котором основными ее инвариантными конструктами выступают голые числа, а не размерные величины, начинает явственно ощущаться и осознаваться единство физической и математической науки». Вся трагедия этого высказывания состоит в том, что автор, без сомнения обладающий большим багажом современных научных знаний, несмотря на правильный вывод приведенного суждения, способен воспринимать математические и физические величины, физические константы не как размерностные понятия, а как «голые» числа. И он не одинок в своем заблуждении, так как приведенное высказывание не осуждается в научном мире, а воспринимается как нормальное явление. Все имеющиеся факты свидетельствуют о том, что «голые» числа в настоящее время прочно занимают свое место в науке, и ученые, стоящие во главе крупных научных школ, без тени сомнения пользуются такими понятиями, как «безразмерная переменная».

Гипотеза о единстве, на основе которой органически решаются многие выявленные проблемы точных наук, показывает, что «голые» числа сами по себе ничего не могут выразить в законченном виде. Числа, несомненно, могут существовать в нашем сознании как самостоятельная количественная категория, однако любое математическое преобразование требует обязательного осмысления взаимодействия качественных частей математических величин, т.е. анализа размерностей. Количественная категория вторична, она в образе пустого числа не имеет самостоятельного значения и не может участвовать в математических операциях отдельно от качественного содержания, которое может быть выражено как очень конкретно, так и абстрактно в самом общем виде. Тот факт, что на каком-то отрезке изучения математической проблемы можно оперировать только количественной частью математических величин, например, заучивать или переписывать таблицу умножения без анализа качественного содержания сомножителей и произведения, не дает основания принимать это в целом как аксиому или некий всеобщий закон. Для полного и правильного восприятия количественной операции следует ясно представлять себе, каким образом данная математическая процедура согласуется с взаимодействием качественных частей математических величин, т.е. взаимодействием размерностей.

Отнесение физических констант, включая p, а также различного рода коэффициентов к «голым» числам является глубочайшим заблуждением современной науки».

Автор работы [6] не ограничился констатацией некорректности использования в математике голых чисел, но и, что более важно, предложил и обосновал гипотезу о единстве количественных и качественных категорий во всех разделах математики. Мы согласны с А. Митрохиным в необходимости единства качества и количества в математике, но не будем перелагать его гипотезу, ограничившись отсылкой читателей к первоисточнику, отметив только, что ни в одном разделе математики невозможно корректное производство математических операций без участия в математических преобразованиях качественных составляющих. Поскольку работа А. Митрохина существенно расширяет знание области неопределенности и заблуждений в математике, полагаем необходимым привести, с небольшими сокращениями, в нашей работе в приложении №1 «Заключение», которое было получено им в результате исследования и которое само по себе достаточно полно отражает как гипотезу, так и итоги проделанного исследования.

Отметим, что единство количественного и качественного в математических преобразованиях, за использование которого в полном объеме ратует А. Митрохин, не надуманная проблема, а является следствием логического абстрагирования от качественных категорий реального мира (наибольшей общности) к математике. Однако во времена оные абстрагирование от качества было проведено таким образом, что качественные категории, сопровождающие математические потребности, и обуславливающие появление соответствующих чисел, оказались отброшенными не только мысленно, но и практически. И эта, достаточно простая операция, необходимая как частность узкого круга практических потребностей («голые» числа почти не применяются в практике, за ними всегда стоят либо предметы, либо качества) была распространена на весь математический аппарат, что и послужило основанием считать математику только количественной наукой. Подходит пора возвращения к истокам, пора возвращения качества в математику.

Мы не приводим еще ряда других заблуждений, которые будут затрагиваться по мере изложения материала, но убеждены, что и ими перечень некорректных представлений в математике не ограничивается. Появление некорректностей - естественное следствие поэтапного, от частного к общему, изучения человеком природных явлений, но их виртуальное наличие в теории оказывает постоянное негативное воздействие на адекватное восприятие законов природы и на развитие самой математики, и тех наук, в которых она находит применение.

Эти заблуждения особенно наглядно проявляются в теории чисел. Той самой теории, которая считается «продуктом чистого разума», и с которой начинается отрицание возможности применения в математике законов диалектики. Посмотрим, имеются ли хоть какие то основания для такого отрицания.

1.5. Диалектические законы в математике

Появление диалектического мышления, так же, как и математического, было невозможно до такого периода развития общества, на котором оно достигает способности абстрактного восприятия действительности. Причем развитие математического аппарата, вызываемое практикой, могло значительно опережать познание диалектики и, соответственно, оказывать существенное воздействие на постижение ее законов и категорий. Можно полагать, что именно математика (арифметика и геометрия) породила диалектическое мышление. Диалектика же как наука, развившись и охватив своим влиянием все остальные науки (кроме математики), позабыла о своих «родителях». Иначе чем объяснить, что современная математика оперирует, как полагают, обезличенными числами, абсолютно абстрактными количественными отношениями, и числа сами по себе не несут в математике никакой качественной нагрузки и не «подчиняются» законам диалектики.

Отметим, что все эти уверения в бескачественности и обезличенности чисел не очень-то соответствуют истине. На самом деле в математике нет ни одного самого по себе бескачественного или обезличенного числа. Подчеркнем - ни одного! И это утверждение касается не качественного сопровождения чисел, а непосредственно самих «голых» чисел.

Да, действительно, математические числа, сами по себе, не обладают ни одним природным свойством и выраженной не численной индивидуальностью. Только с этой точки зрения они бескачественны и обезличенны. Однако числа обладают так называемыми формальными свойствами, которые не являются качественными, соответствующими природным свойствам, и потому не имеют размерности, а, следовательно, и не различаются между собой. Это обстоятельство как бы тоже свидетельствует о том, что числа - продукты творчества свободного ума, отказавшего числам в качественной размерности, и как вывод - безразмерностные числа не могут описывать диалектику природных процессов.

Но сами для себя и того множества, в которое эти числа входят, они обладают и качеством и, как уже упоминалось, индивидуальностью (иначе не видать бы им этого множества) будучи даже безразмерностными. Только их качественность имеет характер формального группового различия и не сразу определяется. К тому же количественная величина числа не считается индивидуальностью, поскольку можно написать бесчисленное множество чисел тождественных по количественной величине. (Например, в квантовой механике постулируется тождественность всех фотонов и электронов. Однако это не мешает физикам считать, к примеру, электрон не формальным образованием, а частицей, то есть индивидуальностью. Тем не менее, формальное тождество количественных величин многих чисел лишает на сегодня данные числа индивидуальности.)

Познакомимся с «обезличенными» числами бесконечного натурального ряда, названного Гегелем «дурным» за его «кажущуюся» бескачественность. Основное свойство чисел натурального ряда заключается в том, что операции сложения, вычитания и умножения с ними обусловливают появление тоже целых чисел. Рассмотрим элементы этого ряда и выясним, являются ли его члены качественными или бескачественными числами:

0; 1; 2; 3; 4; 5; … …25; 26; …

или

0 1 2 3 4… …25 26 …

Прежде всего, фиксируется то обстоятельство, что каждое число - целое, отделенное от другого целого точкой с запятой, запятой или некоторым пространственным промежутком. Это настолько привычно, что не вызывает никаких вопросов. А между тем вопрос присутствует: Зачем отделять числа друг от друга, если они и количественно, и качественно обезличены?

Оказывается если их не отделять, то бесконечного ряда просто не будет. Появляется не ряд, а что-то бесформенное и неопределенное. Поняв это, делаем первый вывод: чтобы иметь дело с определенными числами необходимо нужное количество цифр некоторым образом отделять от другого количества цифр (т.е. использовать геометрию). Эта известная всем с первого класса немудрящая процедура в диалектике является процессом наделения тела-целого качеством отдельного. По аналогии с выделением отдельного из целого констатируем: каждое математическое число само по себе обладает формальным качеством отдельного и уравнивается этим качеством со всеми другими числами. И как отдельное оно не имеет размерности.