Вопрос 8. Классификация и особенности математических моделей

Анализ литературных источников по моделированию позволяет классифицировать математические модели по следующим признакам :

1. Сложность объекта моделирования.

2. Оператор моделирования (подмодель).

3. Входные и выходные параметры модели.

4. Цели моделирования.

5. Метод реализации модели.

1. Сложность объекта

Все объекты моделирования можно разделить на две группы: простые объекты и объекты-системы. При моделировании простых объектов не рассматривается внутренне строение объекта, не выделяются составляющие его элементы или подпроцессы. Простым объектом, например, является материальная точка в классической механике. Для сложных систем характерно наличие большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих элементов. Их поведение многовариантно. При моделировании объектов-систем возникают большие трудности. Модели объектов-систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимо- связи между ними, называются структурными моделями.

2. Оператор модели

Оператор модели определяется совокупностью уравнений. Если оператор обеспечивает линейную зависимость выходных факторов от входных, то математическая модель называется линейной. В противном случае модель называется нелинейной.

3. Параметры модели

В зависимости от вида используемых множеств параметров модели делятся на качественные и количественные, дискретные и непрерывные, смешанные.

4. Цели моделирования

В зависимости от цели моделирования выделяют дискриптивные, оптимизационные, управленческие модели.

Целью дискриптивных моделей является установление законов изме- нения параметров модели. Оптимизационные модели предназначены для определения оптимальных (наилучших) с точки зрения некоторого критерия параметров объекта и технологических режимов. Управленческие модели применяются для принятия эффективных управленческих решений.

5. Метод реализации модели

В зависимости от метода реализации выделяют аналитические и алгоритмические математические модели. Метод является аналитическим, если он позволяет получить выходные факторы в виде аналитических выражений. Аналитические методы бывают алгебраическими и приближенными. В алгоритмических моделях математические соотношения для объекта исследования заменяются алгоритмом. Алгоритмические модели бывают численными и имитационными.

При моделировании технических систем и процессов классификация математических моделей приобретает дополнительные признаки :

● по этапам жизненного цикла создания объекта выделяют модели анализа, модели проектирования, модели внедрения и т. д.;

● по уровню формализации модели можно выделить концептуальную модель (для пользователя и аналитика), формализованное, или алгоритмическое, описание и программу-имитатор;

● по методам построения различают модели, созданные с помощью аналитических и статистических методов.

В основе аналитических моделей процессов лежат фундаментальные законы тепло- и массопереноса, выраженные в виде функциональных соотношений (алгебраических, интегрально-дифференциальных, конечно-разностных и т. д.). Поэтому аналитические модели описывают и раскрывают сущность процессов и явлений, протекающих в исследуемом объекте и определяющих его свойства и поведение. Методы исследования аналитических моделей: аналитические (получают общее решение в явном виде и подставляют в него значения граничных и начальных условий) и численные (общие решения в явном виде заменяются приближенными). В качестве примера аналитических моделей можно назвать дифференциальные уравнения.

В основе статистических моделей лежат результаты экспериментального исследования объекта. Поэтому эти модели также называют эмпирическими, идентифицируемыми, вероятностно-статистическими, опытно-статистическими. Статистические модели рассматривают исследуемый 26 объект как «черный ящик» и не раскрывают сущность процессов и явлений, протекающих в нем, – они просто отражают одну из возможных зависимостей выходных переменных от входных, т. е. носят частный характер в отличие от аналитических моделей, которые имеют более общий характер. Примеры эмпирических моделей – корреляционные, регрессионные модели.

Вопрос 9. Преимущества математического моделирования при создании новых процессов и оборудования.

При ис­пользовании метода математического моделирования необходимо четко представлять себе преимущества этого метода в применении к исследованию и анализу различных задач. Если математическая модель достоверно описывает исследуемый объект с точки зрения поставленных перед исследованием задач, то математическое мо­делирование является эффективным, оперативным и недорогим методом анализа на любой стадии создания и разработки новых машин.

К основным преимуществам метода математического модели­рования следует отнести следующие:

1. Ответы на многие вопросы, возникающие на ранних этапах создания машин (замысла, предварительного проектирования),

можно дать без применения дорогостоящего метода проб и оши­бок, т. е. исключить из разработок дорогостоящие пробные экспе­рименты, варианты нерациональных систем, схем и конструкций. На стадии проектирования можно, опять-таки без проведения до­рогостоящего эксперимента, получить необходимую информацию об оптимальных размерах, соотношениях и конструктивных пара­метрах машин и их элементов.

2. На ЭВМ можно моделировать поведение объекта в любых условиях, в том числе и в таких, которые в практическом экспери­менте реализовать нельзя. Благодаря этому расширяется диапазон условий, в которых проверяется и исследуется какой-либо объект. Так, на математической модели можно проверить и исследовать работу самодействующих клапанов при постоянно действующем на компрессор ускорении и т. д.

3. Сокращаются расходы на дорогостоящее оборудование, не­обходимое при экспериментальном исследовании. Так, исследо­вание работы компрессора в тропических или арктических усло­виях можно провести без климатической камеры, в которой ре­альный компрессор может быть поставлен в тропические и аркти­ческие условия.

4. Для прогнозирования поведения компрессора можно экстра­полировать результаты реальных экспериментов с помощью мате­матической модели. В этом случае данные, полученные на реаль­ной машине, могут быть перенесены на другие машины.

5. Сокращается продолжительность испытаний системы или установки. Единственным ограничением на этом пути является быстродействие самой ЭВМ.

6. Математическое моделирование на ЭВМ дает возможность получить информацию, в которой исключено влияние некоторых побочных явлений; часто такое влияние в реальном эксперименте исключить нельзя.

7. Математическое моделирование — единственный источник информации в тех случаях, когда по каким-либо причинам прове­дение реального эксперимента невозможно.

Перечисление преимуществ метода математического модели­рования было бы неполным, если бы мы не назвали еще одну воз­можность — использование новых способов извлечения информа­ции из экспериментальных данных, например метода идентифи­кации.

Критерии целесообразности применения математического модели­рования.Из ранее сказанного следует, что моделирование с помо­щью ЭВМ — мощное средство исследования. Однако его следует применять далеко не во всех случаях. Многие задачи, стоящие пе­ред исследователями, решаются более эффективно другими спо­собами, более простыми или более точными, иногда чисто экспе­риментально, а зачастую и чисто аналитически.

На принятие решения об использовании метода математичес-