Применение принципа Ферма к доказательству законов отражения и преломления

Принцип Ферма – основной принцип геометрической оптики. Простейшая форма принципа Ферма – утверждение, что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, по которому время его прохождения меньше, чем по любому из всех других путей, соединяющих эти точки. Время прохождения светом расстояния l, заполненного средой с показателем преломления n, пропорциональнооптической длине пути S; S = l•n для однородной среды, а при переменном n

S = ∫ndl,

Поэтому можно сказать, что принцип Ферма есть принцип наименьшей оптической длины пути. В первоначальной формулировке самого П. Ферма (около 1660) принцип имел смысл наиболее общего закона распространения света, из которого следовали все (к тому времени уже известные) законы геометрической оптики: для однородной среды он приводит к закону прямолинейности светового луча (в соответствии с геометрическим положением о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками), а для случая падения луча на границу различных сред из принципа Ферма можно получить законы отражения света и преломления света. В более строгой формулировке принцип Ферма представляет собой вариационный принцип, утверждающий, что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, по которой время его прохождения экстремально или одинаково по сравнению с временами прохождения по всем другим линиям, соединяющим эти точки. Это означает, что оптическая длина пути луча может быть не только минимальной, но и максимальной либо равной всем остальным возможным путям, соединяющим указанные точки. Примерами минимального пути служат упомянутые распространение света в однородной среде и прохождение светом границы двух сред с разными показателями преломления n. Все три случая (минимальности, максимальности и стационарности пути) можно проиллюстрировать, анализируя отражение луча света от вогнутого зеркала (рис.1).

Действительный путь света соответствует экстремальному времени распространения

Рис.1

Если зеркало имеет форму эллипсоида вращения, а свет распространяется от одного его фокуса Р к другому Q (причём путь без отражения невозможен), то оптическая длина пути луча PO' + O'Q по свойствам эллипсоида равна всем остальным возможным, например PO'' + О'' Q; если на пути между теми же точками свет отражается от зеркала меньшей, чем у эллипсоида, кривизны (MM), реализуется минимальный путь, если же большей (зеркало NN) – максимальный. Условие экстремальности оптической длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулювариация от интеграла

,

где А и В – точки, между которыми распространяется свет. Это выражение и представляет собой математическую формулировку принципа Ферма.

В волновой теории света принцип Ферма представляет собой предельный случай принципа Гюйгенса – Френеля и применим, когда можно пренебречь дифракцией света (когда длина световой волны достаточно мала по сравнению с характерными для задачи размерами): рассматривая лучи как нормали к волновым поверхностям, легко показать, что при всяком распространении света оптической длины их путей будут иметь экстремальные значения. Во всех случаях, когда необходимо учитывать дифракцию, принцип Ферма перестаёт быть применимым.

Бипризма Френеля

Получение интерференции света с помощью бипризмы Френеля.

Бипризма Френеля — оптическое устройство для получения когерентных световых пучков, предложенноеОгюстеном Френелем. Бипризма представляет собой две одинаковых треугольных прямоугольных призмы, с очень малым преломляющим углом, сложенные своими основаниями. На практике бипризму обычно изготавливают из единого куска стекла. С помощью бипризмы можно наблюдать интерференцию световых пучков^[1][2].

Использование для получения когерентных пучков света бипризмы Френеля представляет собой один из вариантов метода деления волнового фронта. В соответствии с количеством интерферирующих пучков света интерференцию, получаемую с помощью бипризмы Френеля, относят к двухлучевой интерференции^[1].

Принцип работы

Для получения интерференции источник света S располагают симметрично относительно призм, составляющих бипризму. Углы падения лучей на поверхности призмы малы, поэтому все лучи отклоняются ею на одинаковый угол , равный , где — показатель преломления материала, из которого изготовлена призма, а — преломляющий угол призмы.

В результате такого преломления образуются два когерентных пучка света, вершины которых S₁ и S₂ можно рассматривать, как точки расположения мнимых изображений источника S. На экране когерентные лучи от источников S₁ и S₂ перекрываются и формируют интерференционную картину, представляющую собой набор чередующихся между собой светлых и тёмных полос^[3].

Обычно в качестве источника света используют узкую щель, расположенную параллельно ребру бипризмы и освещённую ярким монохроматическим светом. В таком случае интерференционная картина представляет собой систему чередующихся светлых и тёмных полос, параллельных щели. На практике высокая степень монохроматичности излучения не требуется, и для получения интерференционной картины достаточно прикрыть источник белого света светофильтром, изготовленным из цветного стекла. Если белый свет источника не монохроматизировать, то интерференционная картина будет состоять из полос различного цвета, причём полностью тёмных полос наблюдаться не будет, поскольку места минимальной освещённости для света с одной длиной волны будут совпадать с местами максимальной освещённости для света с другой длиной волны^[3]. При увеличении ширины щели освещённость экрана возрастает, но одновременно с этим контраст интерференционной картины падает вплоть до полного её исчезновения.

В экспериментах с бипризмой Френеля интерференционные полосы наблюдаются в области перекрытия пучков на экране при любом расстоянии от экрана до бипризмы. О таких полосах говорят, что они не локализованы^[1].

Теория

Величина расстояния между мнимыми источниками определяется углом поворота и расстоянием между источником света S и призмой; при малых для расстояния выполняется^[4]:

Из общей теории двухлучевой интерференции известно, что максимумы освещённости на экране образуются на расстояниях от центра экрана, удовлетворяющих условию^[1]

где — расстояние между призмой и экраном, — длина волны света, а — целое число, принимающее значения 0, ±1, ±2, …

Отсюда следует, что в случае бипризмы для положений максимумов выполняется

Соответственно для расстояний между максимумами справедливо соотношение^[4]

Освещённость экрана в точке с координатой зависит от разности фаз пучков, интерферирующих в этой точке:

где — освещённость, создаваемая одним из интерферирующих пучков, а разность фаз имеет вид

Таким образом, освещённость экрана изменяется от минимального значения до максимального

Перекрываемая пучками света область на экране в направлении координаты имеет протяжённость, приблизительно равную . Отсюда, используя приведённое выше выражение для расстояния между максимумами освещённости , получаем, что число наблюдаемых в экспериментах с бипризмой Френеля интерференционных полос равно:

Кольца Ньютона

Ко́льца Нью́тона — кольцеобразные интерференционные максимумы и минимумы, появляющиеся вокруг точки касания слегка изогнутой выпуклой линзы и плоскопараллельной пластины при прохождении света сквозь линзу и пластину^[1].

Описание

Интерференционная картина в виде концентрических колец (колец Ньютона) возникает между поверхностями, одна из которых плоская, а другая имеет большой радиус кривизны (например, стеклянная пластинка и плосковыпуклая линза). Исаак Ньютон, исследовав их в монохроматическом и белом свете, обнаружил, что радиус колец возрастает с увеличением длины волны (от фиолетового к красному).^[2]

Классическое объяснение явления[править | править вики-текст]

Удовлетворительно объяснить, почему возникают кольца, Ньютон не смог. Удалось это Юнгу. Проследим за ходом его рассуждений. В их основе лежит предположение о том, что свет — это волны. Рассмотрим случай, когда монохроматическая волна падает почти перпендикулярно на плосковыпуклую линзу.

Рис. 1

Пример колец Ньютона

Волна 1 появляется в результате отражения от выпуклой поверхности линзы на границе стекло — воздух, а волна 2 — в результате отражения от пластины на границе воздух — стекло. Эти волны когерентны, то есть у них одинаковые длины волн, а разность их фаз постоянна. Разность фаз возникает из-за того, что волна 2 проходит больший путь, чем волна 1. Если вторая волна отстаёт от первой на целое число длин волн, то, складываясь, волны усиливают друг друга.

— max,

где — любое целое число;

— длина волны.

Напротив, если вторая волна отстаёт от первой на нечётное число полуволн, то колебания, вызванные ими, будут происходить в противоположных фазах, и волны гасят друг друга.

— min,

где — любое целое число;

— длина волны.

Для учёта того, что в разных веществах скорость света различна, при определении положений минимумов и максимумов используют не разность хода, а оптическую разность хода (разность оптических длин пути).

Если — оптическая длина пути,

где — показатель преломления среды;

— геометрическая длина пути световой волны,

то получаем формулу оптической разности хода:

Если известен радиус кривизны R поверхности линзы, то можно вычислить, на каких расстояниях от точки соприкосновения линзы со стеклянной пластиной разности хода таковы, что волны определенной длины λ гасят друг друга. Эти расстояния и являются радиусами тёмных колец Ньютона. Необходимо также учитывать тот факт, что при отражении световой волны от оптически более плотной среды фаза волны меняется на ; этим объясняется тёмное пятно в точке соприкосновения линзы и плоскопараллельной пластины. Линии постоянной толщины воздушной прослойки под сферической линзой представляют собой концентрические окружности при нормальном падении света, при наклонном — эллипсы.

Радиус k-го светлого кольца Ньютона (в предположении постоянного радиуса кривизны линзы) в отражённом свете выражается следующей формулой:

где R — радиус кривизны линзы;

k = 1, 2, …;

λ — длина волны света в вакууме;

n — показатель преломления среды между линзой и пластинкой.

Использование[править | править вики-текст]

Кольца Ньютона используются для измерения радиусов кривизны поверхностей, для измерения длин волн света и показателей преломления. В некоторых случаях (например, при сканировании изображений на плёнках или оптической печати с негатива) кольца Ньютона представляют собой нежелательное явление.

Используются в физиологии. Подсчёт форменных элементов производится после притирания покровного стекла и камеры Горяева до появления колец Ньютона^[3].

Интерференция света в тонких плёнках

Интерференция в тонкой плёнке. Альфа — угол падения, бета — угол преломления, жёлтый луч отстанет от оранжевого, они сводятся глазом в один и интерферируют.

Получить устойчивую интерференционную картину для света от двух разделённых в пространстве и независящих друг от друга источников света не так легко, как для источников волн на воде. Атомы испускают свет цугами "обрывками" очень малой продолжительности, и когерентность нарушается. Сравнительно просто такую картину можно получить, сделав так, чтобы интерферировали волны одного и того же цуга^[1]. Так, интерференция возникает при разделении первоначального луча света на два луча при его прохождении через тонкую плёнку, например плёнку, наносимую на поверхность линз у просветлённых объективов. Луч света, проходя через плёнку толщиной , отразится дважды — от внутренней и наружной её поверхностей. Отражённые лучи будут иметь постоянную разность фаз, равную удвоенной толщине плёнки, отчего лучи становятся когерентными и будут интерферировать. Полное гашение лучей произойдет при , где — длина волны. Если нм, то толщина плёнки равняется 550:4=137,5 нм.

Интерференция света на мыльном пузыре

Лучи соседних участков спектра по обе стороны от нм интерферируют не полностью и только ослабляются, отчего плёнка приобретает окраску. В приближении геометрической оптики, когда есть смысл говорить об оптической разности хода лучей, для двух лучей

— условие максимума;

— условие минимума,

где k=0,1,2… и — оптическая длина пути первого и второго луча, соответственно.

Явление интерференции наблюдается в тонком слое несмешивающихся жидкостей (керосина или масла на поверхности воды), вмыльных пузырях, бензине, на крыльях бабочек, в цветах побежалости, и т. д.

Дифракция Фраунгофера

Пример оптической установки, в которой наблюдаются дифракция Френеля (в ближней зоне) и дифракция Фраунгофера (в дальней зоне).

Дифракция Френеля:

Дифракция Фраунгофера:

Дифракция Фраунгофера — случай дифракции, при котором дифракционная картина наблюдается на значительном расстоянии от отверстия или преграды. Расстояние должно быть таким, чтобы можно было пренебречь в выражении для разности фаз членами порядка , что сильно упрощает теоретическое рассмотрение явления. Здесь — расстояние от отверстия или преграды до плоскости наблюдения, — длина волны излучения, а — радиальная координата рассматриваемой точки в плоскости наблюдения в полярной системе координат. Иными словами, дифракция Фраунгофера наблюдается тогда, когда число зон Френеля , при этом приходящие в точку волны являются практически плоскими. При наблюдении данного вида дифракции изображение объекта не искажается и меняет только размер и положение в пространстве. В противоположность этому, при дифракции Френеляизображение меняет также свою форму и существенно искажается.

Дифракционные явления Фраунгофера имеют большое практическое значение, лежат в основе принципа действия многих спектральных приборов, в частности, дифракционных решёток. В последнем случае для наблюдения светового поля «в бесконечности» используются линзы или вогнутые дифракционные решетки (соответственно, экран ставится в фокальной плоскости).