Итерационный метод решения нелинейных уравнений
Пусть требуется решить уравнение , представленное в виде
x = g ( x ) ,(5)
где правая часть уравнения - непрерывная на отрезке функция g ( x ).
Суть метода итераций ( метода последовательных приближений)состоит в следующем.
Начиная с произвольной точки x0 ,принадлежащей отрезку [a , b], последовательно получаем
x (1) = g ( x (0) )( первое приближение )
x (2) = g ( x (1) )( второе приближение )
… … …
x (k + 1) = g ( x (k) )( k + 1-е приближение )
Последовательность
x (0), x (1), … , x (k), …(6)
называется последовательностью итераций для уравнения (1) с начальной точкой x (0).
Если все точки (2) принадлежат отрезку [a , b] и существует предел
, то , перейдя к пределу в равенстве
x ( k + 1) = g ( x (k )) ( k = 0,1,2,...) ,(7)
получим , т.е.
.
Следовательно, если существует предел последовательности итераций (7) , то он является корнем уравнения (1). Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме.
Теорема.
Пусть функция g ( x ) имеет на отрезке [a , b]непрерывную производную и выполнены два условия :
1) q < 1 при x
[a , b] ;
2)значения функции y = g( х )принадлежат отрезку [a ,b]для любого x [a , b]
Тогда при любом выборе начального приближения x( 0 ) [a , b]процесс итераций сходится к единственному корню
уравнения (1) на отрезке [a , b]
Оценка погрешности k -го приближения x (k) к корню такова :
, (8)
где
Укажем теперь один из способов преобразования уравнения
f(x) = 0(9)
к виду x = g(x), допускающему применение метода итераций , сходящихся к решению уравнения (9).
Для любого числа уравнение (9) равносильно уравнению (5), где
g ( x ) = x + f( x ).
Предположим , что производная f ' (x) > 0и непрерывна
на [ a,b] . Пусть ,
;
положим
,
и рассмотрим функцию
. (10)
Для функции, определенной формулой (10), выполняются достаточные условия сходимости метода итераций решения уравнения (9). В частности, условие 1) теоремы следует из неравенств
0 < m f ' (x)
M ,
0 g ' (x) = 1 - (1/M) f ' (x)
1 - m/M = g < 1
.
Замечание1.Если окажется , что производная f ' (x)отрицательна на отрезке [ a , b] , то уравнение (1) можно заменить на равносильное уравнение -f(x) = 0и использовать указанное преобразование.
Замечание 2.Если вычисление точного числа затруднительно , то можно заменить его произвольным числом М1> M. Однако при большом М1 число q = 1 - m / М1 ближе к единице и процесс итераций сходится медленнее.
Замечание 3. При нахождении корня уравнения (1) с заданной точностью или при оценке погрешности k-го приближения можно , не вычисляя точного значения числа
q = max | g ' (x) | ,ограничиться следующей практической рекомендацией :
при 0 < q
(1/2) (11)
при (1/2) < q < 1. ( 12)
Блок – схема алгоритма, реализующего итерационный метод, приведена на рис. 3.2.
![]() |
|
|
|
|
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-36.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-37.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-38.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-39.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-40.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-41.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-42.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-43.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-44.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-45.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-46.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/trebovaniya-k-oformleniyu-otcheta-otchet-dolzhen-soderzhat-454855-9.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-48.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-49.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-50.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-51.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-52.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/trebovaniya-k-oformleniyu-otcheta-otchet-dolzhen-soderzhat-454855-10.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/trebovaniya-k-oformleniyu-otcheta-otchet-dolzhen-soderzhat-454855-10.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-55.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-56.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-57.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-58.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-58.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-60.gif)
|
|
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/trebovaniya-k-oformleniyu-otcheta-otchet-dolzhen-soderzhat-454855-8.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-62.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-58.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-64.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-65.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-66.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-67.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/trebovaniya-k-oformleniyu-otcheta-otchet-dolzhen-soderzhat-454855-8.gif)
|
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-69.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-70.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/trebovaniya-k-oformleniyu-otcheta-otchet-dolzhen-soderzhat-454855-17.gif)
|
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-73.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-74.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-75.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-76.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/trebovaniya-k-oformleniyu-otcheta-otchet-dolzhen-soderzhat-454855-10.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/trebovaniya-k-oformleniyu-otcheta-otchet-dolzhen-soderzhat-454855-10.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-79.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-80.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-81.gif)
|
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-67.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-83.gif)
![Итерационный метод решения нелинейных уравнений Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru](/images/matematika/iteracionnyy-metod-resheniya-nelineynykh-uravneniy-459548-84.gif)
![]() | |||
![]() |
Рис 3.3 Блок – схема алгоритма, реализующего метод половинного деления
Лабораторная работа 4