Итерационный метод решения нелинейных уравнений

Пусть требуется решить уравнение , представленное в виде

x = g ( x ) ,(5)

где правая часть уравнения - непрерывная на отрезке функция g ( x ).

Суть метода итераций ( метода последовательных приближений)состоит в следующем.

Начиная с произвольной точки x0 ,принадлежащей отрезку [a , b], последовательно получаем

x (1) = g ( x (0) )( первое приближение )

x (2) = g ( x (1) )( второе приближение )

… … …

x (k + 1) = g ( x (k) )( k + 1-е приближение )

Последовательность

x (0), x (1), … , x (k), …(6)

называется последовательностью итераций для уравнения (1) с начальной точкой x (0).

Если все точки (2) принадлежат отрезку [a , b] и существует предел Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru, то , перейдя к пределу в равенстве

x ( k + 1) = g ( x (k )) ( k = 0,1,2,...) ,(7)

получим Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru, т.е. Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru .

Следовательно, если существует предел последовательности итераций (7) , то он является корнем уравнения (1). Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме.

Теорема.

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Пусть функция g ( x ) имеет на отрезке [a , b]непрерывную производную и выполнены два условия :

1) Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru q < 1 при x Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru [a , b] ;

2)значения функции y = g( х )принадлежат отрезку [a ,b]для любого x Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru [a , b]

Тогда при любом выборе начального приближения x( 0 ) Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru [a , b]процесс итераций сходится к единственному корню Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru уравнения (1) на отрезке [a , b]

Оценка погрешности k -го приближения x (k) к корню Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru такова :

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru , (8)

где Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru

Укажем теперь один из способов преобразования уравнения

f(x) = 0(9)

к виду x = g(x), допускающему применение метода итераций , сходящихся к решению Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru уравнения (9).

Для любого числа Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru уравнение (9) равносильно уравнению (5), где

g ( x ) = x + Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru f( x ).

Предположим , что производная f ' (x) > 0и непрерывна

на [ a,b] . Пусть Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru , Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru ;

положим

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru , Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru

и рассмотрим функцию

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru . (10)

Для функции, определенной формулой (10), выполняются достаточные условия сходимости метода итераций решения уравнения (9). В частности, условие 1) теоремы следует из неравенств

0 < m Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru f ' (x) Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru M ,

0 Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru g ' (x) = 1 - (1/M) f ' (x) Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru 1 - m/M = g < 1 Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru .

Замечание1.Если окажется , что производная f ' (x)отрицательна на отрезке [ a , b] , то уравнение (1) можно заменить на равносильное уравнение -f(x) = 0и использовать указанное преобразование.

Замечание 2.Если вычисление точного числа Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru затруднительно , то можно заменить его произвольным числом М1> M. Однако при большом М1 число q = 1 - m / М1 ближе к единице и процесс итераций сходится медленнее.

Замечание 3. При нахождении корня уравнения (1) с заданной точностью или при оценке погрешности k-го приближения можно , не вычисляя точного значения числа

q = max | g ' (x) | ,ограничиться следующей практической рекомендацией :

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru при 0 < q Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru (1/2) (11)

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru при (1/2) < q < 1. ( 12)

Блок – схема алгоритма, реализующего итерационный метод, приведена на рис. 3.2.

 
  Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru

Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru

  >
<
<
Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru
Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru
b = x1
d = b - a
Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru
a = x1
Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru
Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru 0
Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru
x1 = ( a + b ) / 2
Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru

       
  Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru
 
    Итерационный метод решения нелинейных уравнений - student2.ru

Рис 3.3 Блок – схема алгоритма, реализующего метод половинного деления

Лабораторная работа 4

Наши рекомендации