Обратное интерполирование

Задача обратного интерполирования: по заданному значению функции найти аргумент , при котором . Функция y=f(x) задана таблично.

Предположим, что на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции, функция f(x) монотонна. Тогда существует однозначная обратная функция x=F(y). Она задана той же таблицей, что и y=f(x), только теперь аргументом будет значение , а -соответствующее значение функции.

В этом случае обратное интерполирование сводится к обычному интерполированию для функции x=F(y). Т.е. строится интерполяционный многочлен ( например, по формуле Лагранжа) – многочлен . При подстановке в значения - получаем .

Второй способ применим ко всякой функции f(x)( не обязательно к монотонной). Не меняя ролями функцию и аргумент, записываем по какой – либо формуле интерполяционный многочлен . Неизвестное значение находим приближенно, решая уравнение . Если число узлов велико, то этот способ нахождения приводит к решению системы алгебраических уравнений высокого порядка.

7. Сплайн – интерполяция. (spline – рейка, планка)

Механические сплайны – гибкие деревянные рейки, закрепленные на концах. В узлах (точках) интерполяции подвешивают грузила. Сплайн принимает форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Если сплайн представить функцией S(x) , то S и непрерывны на [ ].

Кубическая сплайн – функция, удовлетворяющая условиям называется естественным кубическим сплайном. С математической точки зрения кубическая сплайн – функция – единственная функция, обладающая свойством минимальной кривизны, среди всех функций, интерполирующих данные точки и имеющих квадратичную интегрируемую вторую производную.

Т.е. кубический сплайн есть самая гладкая из функций, интерполирующих заданные точки.

Пусть отрезок [a, b] разбит на n частей точками

Сплайном k-ой степени называется функция, представляющая собой многочлен не выше к-ой степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов причем в точках стыка двух интервалов функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше к

Сплайн 1-ой степени – кусочно-линейная функция (непрерывная). Производная терпит разрыв в точках излома.

Задача интерполяции функции на отрезке [a, b] кубическим сплайном (сплайном 3-ей степени) состоит в нахождении функции S(x), равной многочлену третьей степени на каждом отрезке т.е. (19)

Значения сплайна в узлах интерполяции равны и сплайн-функция S(x) непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными первого и второго порядков.

В сплайне (19) неизвестные . Интервал [a, b] разбит на n участков. Т. о. имеем 4n неизвестных: (i*p) = 4n.

Уравнения (20) – (23) дают 4n – 2 уравнения. Т.о. для определения величин необходимо ввести еще каких-либо 2 уравнения (ограничения). В качестве ограничений выбирается одна из 3-х пар краевых условий:

Построим сплайн, удовлетворяющий краевым условиям I типа.

Введем величины , называемые наклонами сплайна в узлах (i=0,1,..,n)

Интерполяционный кубический сплайн вида

(24)

где удовлетворяет условиям (20) – (23) для любых

Из условия (23) и краевых условий (I) можно определить параметры .

Действительно, легко проверить, подставляя в (24) и т.д., что

Беря вторые производные от S(x) по х и подставляя и , получаем

(25)

И краевых условий (I) и условий (25) получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных

Из равенства получаем

(26)

В результате имеем:

(28)

Решая систему (28) методом Гаусса, получаем в результате прямого хода коэффициенты:

(29)

После обратного хода (обратной прогонки) получаем результат:

(30)

Результаты (29) и (30) позволяют построить кубический сплайн.

Построение сплайна с учетом краевых условий (II) производится аналогично.

Точность интерполяционной функции f(x), имеющей на отрезке [a, b] непрерывные производные до 3-его порядка включительно, кубическим сплайном S(x) по точкам равномерного разбиения отрезка с шагом h при любых краевых условиях (I – III), оценивается неравенством:

где (31)

Неравенство (31) дает завышенную оценку точности.

Пример: На отрезке [0, ] построить кубический сплайн с шагом , интерполирующий функцию , если заданы значения функции в трех узлах интерполяции:

x
Sin(x)

С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение и сравнить с точным значением 0,5.

Решение: Т.к. задано 2 отрезка, то представим сплайн в виде:

Краевые условия (I) имеют вид:

Из системы уравнений (28) имеем:

Находим

Подставляем значения в (24). Получаем:

( т.к. и числа, содержащие

Аналогично:

Получаем для : (т.к.

Т. о.

Погрешность меньше, чем !

Мы могли бы получить значение по формулам (29), (30)

Действительно, имеем:

Далее находим

Блок-схема программы построения кубического сплайна и построения полинома Лагранжа представлены на рис. 4.3 и рис. 4.4

Пусть отрезок [a,b] разбит на n равных частей и в точках x_i (i=0,1,2,...,n; x₀=a, х_n=b) некоторая функция принимает значения y_i. Для переменной x, принадлежащей части разбиения [x_i-1 ,x_i] (i=1,... ,n), определена функция (кубический многочлен)

Здесь - шаг разбиения отрезка.

Неизвестные m_i определяются рекуррентными соотношениями

n₀ = A; m_n = В; m_i = L_im_i+1 + M_i (i=n-1,n-2,...,0)

после предварительного вычисления вспомогательных величин M_i, L_i

по рекуррентным формулам

L₀ = 0, M₀ = m₀, M_i = L_i(M_i-1 – b_i) (i=1,2,...,n-1),

где

Величины А и В должны быть заданы. При построении кубичес­кого сплайна, интерполирующего дифференцируемую функцию y = f (x)

по системе точек, полагают A = f ' (a), S = f ' (b) (краевые условия I типа). Выбор необходимой формулы S_i (x) для заданного значения переменной x определяется целым числом i:

В соот­ветствии c условиями задачи для рассмотренного примера в программах принято m₀ = 1, m_n = 0.

Рис 4.3 Блок-схема программы построения кубического сплайна

Блок – схема программы построения интерполяционного многочлена Лагранжа в комментариях не нуждается.

Рис.4.4 Блок - схема программы построения интерполяционного многочлена Лагранжа

Лабораторная работа 5