Виды двухместных отношений

- Обратное отношение (отношение, обратное к R) — это двухместное отношение, состоящее из пар элементов (у, х), полученных перестановкой пар элементов (х, у) данного отношения R. Обозначается: R⁻¹. Для данного отношения и обратного ему верно равенство: (R⁻¹)⁻¹ = R.

- Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого.

- Рефлексивное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого х этого множества элемент х на­ходится в отношении R к самому себе, то есть для любого элемента х этого множества имеет место xRx. Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.

- Антирефлексивное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого элемента х этого множества неверно, что оно находится в отношении R к самому себе (неверно, что xRx), то есть возможен случай, что элемент множества не находится в отно­шении R к самому себе. Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».

- Транзитивное отношение — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz следует xRz (xRy&yRz xRz). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».

- Нетранзитивное отношение — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz ( (xRy&yRz xRz)). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»

- Симметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов х и у этого множества из того, что х находится к у в отношении R (xRy), следует, что и у находится в том же отношении к х (уRx). Примером симметричных отношений могут быть равенство (=), отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства(например, отношение братства).

- Антисимметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy и xR⁻¹y следует х = у (то есть R и R⁻¹ выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).

- Асимметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy следует yRx. Пример: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

- Отношение эквивалентности (отношение тождества, отношение типа равенства) — двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам(условиям):

1. аксиоме рефлексивности (см. выше): xRx (предмет находится в отношении R к само­му себе);

2. аксиоме симметрич­ности (см. выше): xRy yRx (если предмет х находится в отношении R к пред­мету у, то и у находится в отношении R к х);

3. аксиоме транзитивности (см. выше): xRy&yRz xRz (если предмет х находится в отношении R к предмету у и у находится в отношении R к z, то х находится в отношении R к z).

Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, обмениваемость товаров на рынке, подобие, одновременность. Пример отношения, которое удовлетворяет аксиоме (3), но не удовлетворяет аксиомам (1) и (2): «больше».

- Отношения порядка — отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности. В частности, отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует «нестрогий» порядок. Отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — «строгий» порядок.

- Функция — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве, отличающееся тем, что каждому значению x отно­шения xRy соответствует лишь одно-единственное значение y. Пример: «y отец x». Свойство функциональности отно­шения R записывается в виде аксиомы: (xRy и xRz)→(y≡z). Поскольку каждому значению xв выражениях xRy и xRz соответствует одно и то же значение, то y и z совпадут, окажутся одними и теми же. Функциональное отношение однозначно, поскольку каждому значению x отношения xRy соответствует лишь одно-единственное значение y, но не наоборот.

- Биекция (одно-однозначное отношение) — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению х соответствует единственное значение у, и каждому значениюу соответствует единственное значение х. Одно-однозначное отношение является частным случаем однозначного отношения.

- Связанное отношение — это двухместное отношение R, определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что для любых двух различных элементов х и у из этого множества, одно из них находится в отношении R к другому (то есть выполнено одно из двух соотношений: xRy или yRx). Пример: отношение «меньше» (<).