Тема. текстовая задача и процесс ее решения (лекция)

Кроме различных понятий, предложений, доказательств в любом математическом курсе есть задачи. В обучении математике младших школьников преобладают такие, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естественном языке (поэтому их называют текстовыми); в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их называют арифметическими или сюжетными); они представляют собой задачи на разыскивание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).

Решению текстовых задач при начальном обучении уделяется огромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное – средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Существуют различные методические подходы к обучению младших школьниокув решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни брал учитель, ему надо знать, как устроены такие задачи, и уметь их решать различными методами и способами.

Содержание

1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач

2. Структура процесса решения задач

3. Методы и способы решения текстовых задач

4. Этапы решения и приемы их выполнения

5. Решение типовых задач: “задач на части”, “на движение”(С/Р)

Основная литература [ ];

Дополнительная литература [ ]

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ТЕКСТОВАЯ ЗАДАЧА И ПРОЦЕСС ЕЕ РЕШЕНИЯ (С/Р)

Цель.Раскрыть структуру текстовой задачи и этапы решения, уметь их решать различными способами и методами.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач

2. Структура процесса решения задач

3. Методы и способы решения текстовых задач

4. Этапы решения и приемы их выполнения

5. Решение типовых задач: “задач на части”, “на движение”(С/Р)

Основные понятия темы

Ø Любая текстовая задача состоит из взаимосвязянных условий и требований.

Ø Основными методами решения таких задач являются арифметический и алгебраический, а процесс решения задачи включает следующие основные этапы:

1)анализ;

2) поиск плана решения;

3) осуществление плана решения;

4) проверка найденного решения.

Рассмотрены некоторые приемы выполнения этих этапов. Главный прием - это моделирование.

Ø Решить текстовую задач это значит построить ее математическую модель (выражение или уравнение).

Но чтобы облегчить поиск математической модели, нужны модели вспомогательные. Они могут быть графическими (рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж), знаковыми (краткая запись, таблица) и др.

Практическая часть

Обязательные задания

1. Решите различными способами (практическим, арифметическим, алгебраическим, графическим) следующую задачу: «В гараже стояло 10 машин. После того, как несколько машин уехало, осталось 6. Сколько машин выехало из гаража?».

2. С противоположных концов катка длиной 180 м бегут навстречу друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробегает 9 м в секунду, а другой 6 м в секунду?

Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений: а) 9+6; б)180:9; в) 180:6; г) 180:(9+6). Какое из этих выражений является решающей моделью данной задачи?

3. Запишите решение задачи в виде выражения:

а) Самолет пролетел за 2 ч а км. Сколько километров он пролетит за 5 ч?

б) Из двух городов, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовой и встретились через t ч. Скорость легкового автомобиля v км/ч. Найдите скорость грузовика.

в) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоцикл и встретились через t ч. Найдите расстояние между городами, если скорость автомобиля v₁ км/ч, а скорость мотоцикла v₂ км/ч.

4. Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск, другой подъем на движущихся лестницах метро, поравнялись через 30 с. Вычислите длину лестницы, если скорость ее движения 1 м/с.Решите задачу двумя арифметическими способами.

5. Расстояние между городами А и В 520 км. В 8 ч из А в В выехал автобус со скоростью 56 км/ч, а в 11 ч того же дня из В в А выехал грузовой автомобиль со скоростью 32 км/ч. На каком расстоянии от А встретятся машины? Решение задачи запишите по действиям и в виде выражения.

6. Из двух городов, расстояние между которыми 960 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 8 ч после выхода. Найдите скорость каждого поезда, если один проходил в час на 16 км больше другого.

7. Решите нижеприведенные задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям с пояснениями.

а) Из А в В выехал мотоциклист, проезжавший в час 48 км. Через 45 мин из В в А выехал другой мотоциклист, скорость которого была 50 км/ч. Зная, что расстояние АВ равно 330 км, найдите, на каком расстоянии от В мотоциклисты встретятся.

б) Из двух городов, расстояние между которыми 484 км, выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Через 4 ч расстояние между ними оказалось 292 км. Определите скорость велосипедиста и мотоциклиста, если скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста.

8. Установите, достаточно ли данных для ответа на требование задачи:

а) Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились. Скорость одного пешехода 4 км/ч. С какой скоростью шел другой пешеход?

б) Расстояние между станциями 780 км. Одновременно навстречу друг другу с этих станций вышли два поезда и через 6 ч встретились. Найдите скорость каждого поезда, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.

В случае если нельзя ответить на требование задачи, дополните ее условие недостающими данными и решите задачу.

9. Есть ли среди нижеприведенных задачи с лишними данными:

а) Расстояние между плотом и катером, которые движутся по р навстречу друг другу, 52 км. Скорость плота 4 км/ч, а скорость кат 9 км/ч. Как изменится расстояние между ними через час?

б) Почтальон живет на расстоянии 24 км от почтового отделен Путь от дома до почты он проехал за 3 ч на велосипеде со скоростью 8 км/ч, а обратный путь по той же дороге он проехал со скоростью 6 км/ч. На какой путь почтальон потратил меньше времени и на сколько часов?

В случае если в задаче есть лишние данные, то исключите их и запишите получившуюся задачу.

10. Два теплохода отправились одновременно от пристани в одном и том же направлении. Скорость одного теплохода 25 км/ч, другого 20 км/ч. Первый пришел к конечной остановке на 4 ч раньше, чем второй. Найдите расстояние между пристанью и конечной остановкой.

Постройте вспомогательную модель задачи, используя таблицу. Объясните, используя условие данной задачи, смысл следующих выражений: а) 20 × 4; б)25-20; в) (20 × 4): (25-20). Есть ли среди этих выражений решающая модель задачи? Запишите решение задачи в виде выражения и найдите его значение. Выполните проверку, решив задачу алгебраическим методом.

11. Решите следующие задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям и выполните проверку:

а) Из двух городов, расстояние между которыми 260 км, одновременно выехали два поезда в одном направлении. Скорость шедшего впереди поезда 50 км/ч, а второго - 70 км/ч. Через какое время один поезд догонит другой?

б) Из пункта А выехал автобус со скоростью 40 км/ч и через 12 мин нагнал пешехода, который вышел из пункта В одновременно с началом движения автобуса из пункта А. Скорость пешехода 5 км/ч. Какое расстояние между пунктами А и В?

в) Скорость одного конькобежца на 2 м/с больше скорости другого. Если второй начнет движение на 20 с раньше первого, то первый стартуя с того же места, что и второй, догонит его через 80 с. Определите скорости спортсменов.

12. Два самолета вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места назначения быстрее, если первому из них нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в два раза быстрее, чем второй?

13. От двух пристаней, расстояние между которыми по реке 640 км, вышли одновременно навстречу друг другу два теплохода. Собственная скорость теплоходов одинакова. Скорость течения реки 2 км/ч. Теплоход, идущий по течению, за 9 ч проходит 198 км. Через сколько часов теплоходы встретятся?

14. Есть ли среди следующих задач задачи с недостающими или избыточными данными:

а) Турист проехал поездом и на лошади 288 км, причем на лошади он проехал 48 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади, если скорость поезда 60 км/ч?

б) Турист проехал поездом и на лошади 288 км. Поездом он ехал 4 ч на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади?

в) Турист проехал поездом и на лошади 288 км. Поездом он ехал 4 а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади, если поезд шел со скоростью 60 км/ч?

Творческие задания

1. Решите следующие задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям с пояснением:

а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а на об­ратный путь - 10 ч. Скорость лодки в стоячей воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?

б) Собственная скорость моторной лодки в 8 раз больше скорости течения реки. Найдите собственную скорость лодки и скорость тече­ния реки, если, двигаясь по течению, лодка за 4 ч проплыла 108 км.

в) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определите собственную скорость пловца, считая ее постоянной от начала и до конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/с.

2. Решите задачи арифметическим методом, установив предварительно, о каких процессах в них идет речь, какие величины рассматриваются и в каких зависимостях они находятся:

а) Длина прямоугольного поля 1536 м, а ширина 625 м. Один тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за 12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая вместе в течение 5 дней?

б) В мастерской было два куска ткани: один длиной 104 м, другой -84 м. Из всей ткани сшили одинаковые платья, причем из первого куска получилось на 5 платьев больше, чем из второго. Сколько всего платьев сшили из этой ткани ?

в) Один экскаватор вынимает на 60 м³ в час больше земли, чем дру­гой. Оба экскаватора вынули вместе 10320 м³ земли, причем первый работал 20 ч, а второй - 18 ч. С какой производительностью работал каждый экскаватор?

г) Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту 2 картофелины, а второй - 3 картофелины. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 мин больше первого?

д) Бассейн вмещает 2700 м³ воды и наполняется тремя трубами. Первая и вторая трубы вместе могут наполнить бассейн за 12 ч, а первая и третья наполняют его вместе за 15ч. За сколько часов каждая труба в отдельности наполняет бассейн, если третья труба действует вдвое медленнее второй?

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМА

1. Математические понятия. Объем и содержание понятия (С/Р)

2. Отношения рода и вида между понятиями

3. Определение понятий

4. Требования к определению понятий

5. Контекстуальные и остенсивные определения (С/Р)

6. Высказывания и высказывательные формы

7. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний

8. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм (С/Р)

9. Высказывания с кванторами (С/Р)

10. Истинность высказываний с кванторами (С/Р)

11. Отрицание высказываний и высказывательных форм (С/Р)

12. Отношения следования между предложениями (С/Р)

13. Отношения равносильности между предложениями (С/Р)

14. Структура теоремы

15. Отличие теоремы от правила

16. Виды теорем (С/Р)

17. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач

18. Структура процесса решения задач

19. Методы и способы решения текстовых задач

20. Этапы решения и приемы их выполнения

21. Решение типовых задач: “задач на части”, “на движение (С/Р)

ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИКЕ (1 СЕМЕСТР)

1.Понятие множества и элемента множества

2.Способы задания множества

3.Отношения между множествами

4. Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера (С/Р)

5.Подмножество

6. Пересечение множеств

7. Объединение множеств

8. Законы пересечения и объединения множеств (С/Р)

9. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого

10. Понятие разбиения множества на классы

11. Некоторые задачи, связанные с операциями над конечными множествами

12. Декартово произведение множеств

13. Свойства операции декартова произведения

14. Кортеж. Длина кортежа

15. Число элементов в объединении и разности конечных множеств

16. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств

17. Понятие отношения между элементами одного множества.

18. Способы задания отношений

19. Свойства бинарных отношений

20. Отношение эквивалентности. Отношение порядка

21. Понятие соответствия между множествами

22. Способы задания соответствий

23. Соответствие обратное данному. Взаимно однозначное соответствие

24. Равномощные множества. Счетные множества

25. Математические понятия. Объем и содержание понятия

26. Отношения рода и вида между понятиями

27. Определение понятий

28. Требования к определению понятий

29. Контекстуальные и остенсивные определения

30. Высказывания и высказывательные формы

31. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний

32. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

33. Высказывания с кванторами

34. Истинность высказываний с кванторами

35. Отрицание высказываний и высказывательных форм

36. Отношения следования между предложениями

37. Отношения равносильности между предложениями

38. Структура теоремы

39. Отличие теоремы от правила

40. Виды теорем

41. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач

42. Структура процесса решения задач

43. Методы и способы решения текстовых задач

44. Этапы решения и приемы их выполнения

45. Решение типовых задач: “задач на части”, “на движение».