Практическая работа 3. разбиение множества на классы
Цель. Рассмотреть правила разбиения множества на классы, уметь решать задачи на классификацию, освоить математическую символику связанную с этими понятиями. Уметь привести примеры на использование понятия классификации из начального курса математики.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
1. Понятие разбиения множества на классы.
2. Некоторые задачи, связанные с операциями над конечными множествами.
Основные понятия
Ø класс;
Ø классификация;
Ø дихотомическая классификация.
Обозначения
n (A) - число элементов конечного множества А.
Правила
· Разбиения множества на классы;
· Нахождения числа элементов в объединении конечных множеств:
n (А ÈВ) = n (А) + n (В) – n (AÈB);
n (А ÈВ) = n (А) + n (В), если (А Ç B ) = Æ.
Практическая часть
Обязательные задания
1. Выделите из множества К={0, 2, 6, 8, 9, 12, 15} два подмножества. В одно включите числа, кратные 2, а в другое – кратные 3. Произошло ли разбиение множества К на класс чисел, кратных 2, и класс чисел, кратных 3? Можно ли разбить данное множество К на три класса: К1= {0,2,6}, К2= {8,9}, К3= {12,15}?
2. Определите классы разбиения множества Х четырехугольников, если оно осуществляется при помощи: 1) свойства «быть прямоугольником»; 2) свойств «быть прямоугольником» и «быть ромбом»; 3) свойств «быть прямоугольником» и «быть квадратом»; 4) свойств «быть прямоугольником» и «быть трапецией».
3. Из множества натуральных чисел выделите подмножество чисел, кратных 8. На сколько классов при этом произошло разбиение множества натуральных чисел? Изобразите полученные классы при помощи кругов Эйлера и назовите по два представителя из каждого класса.
4. На какие классы разбивается множество точек плоскости при помощи: а) окружности; б) круга; в) прямой?
5. На множестве натуральных чисел рассматривается свойство «быть кратным 7». Сколько классов разбиения множества N оно определяет? Назовите по два элемента из каждого класса.
6. Из множества четырехугольников выделили подмножество фигур с попарно параллельными сторонами. На какие классы разбивается множество четырехугольников с помощью свойства «иметь попарно параллельные стороны»? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.
7. Изобразите при помощи кругов Эйлера множество N натуральных чисел и его подмножества: четных чисел и чисел кратных 7. Можно ли утверждать, что множество N разбито: а) на два класса: четных чисел и чисел, кратных 7; б) на четыре класса: четных чисел, кратных 7; в) нечетных чисел, не кратных 7; г) четных чисел не кратных 7; д) нечетных чисел, кратных 7.
8. На множестве четырехугольников рассматриваются два свойства: «быть прямоугольником» и «быть квадратом». На какие классы разобьется множество четырехугольников при помощи этих свойств? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.
9. Изменится ли ответ в предыдущем упражнении, если на множестве четырехугольников рассмотреть свойства: а) «быть прямоугольником» и «быть ромбом»; б) «быть прямоугольником» и «быть трапецией»?
10. Можно ли узнать, сколько человек в классе, если в нем: 1) 17 мальчиков и 15 девочек; 2) 17 мальчиков и 23 спортсмена?
11. Из 50 учащихся 37 изучают английский язык, 17- немецкий. Сколько человек изучают оба языка?
Творческие задания
1. Придумайте три примера известных вам классификаций из нематематических наук
2. Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секции?
3. В делегации 6 человек, знающих французский или немецкий язык. Трое из них говорят только на французском, двое – только на немецком. Сколько человек говорят на двух языках – французском и немецком?
4. Из 100 студентов английский язык изучают 28 человека, немецкий – 30 человек, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 15. Все три языка изучают 3 учащихся. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?
5. В школе 70 учеников. Из них 27 ходит в драмкружок, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов. 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не ходят в драмкружок?
6. Докажите, что если п – число свойств, с помощью которых множество разбивается на максимальное число классов, то число этих классов равно 2п
ТЕМА 5. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ (ЛЕКЦИЯ)
Содержание
1. Декартово произведение множеств
2. Свойства операции декартова произведения
3. Кортеж. Длина кортежа
Основная литература [ ];
Дополнительная литература [ ]
ТЕМА 5.1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ДЕКАРТОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ МНОЖЕСТВ (С/Р)
Содержание
1. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
2. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
Основная литература [ ];
Дополнительная литература [ ]
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 4. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Цель. Уметь решать практические задачи на понятие декартова произведения и его свойств.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
1. Декартово произведение множеств
2. Свойства операции декартова произведения
3. Кортеж. Длина кортежа
Основные понятия
Ø декартово произведение множеств;
Ø кортеж;
Ø длина кортежа
Обозначения
А ´ В = {(х, у) | х Î А и х Î В} - запись определения декартова произведения множеств А и В.
Ø Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание, декартово произведение.
Ø Свойства этих операций:
· дистрибутивность декартова произведения относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства: (AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С), (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С).
Правила
Ø Нахождения числа элементов в декартовом произведении конечных множеств: n (А ´ В) = n (А) × n (В).
Практическая часть
Обязательные задания
1. Элементами множеств А и В являются пары чисел: А = {(1,12), (2, 9), (3, 6), (4, 3), (5, 0)}, В = {(1,9), (2,7),(3,6), (4,7), (5,0)}. Найдите пересечение и объединение данных множеств.
2. Запишите различные двузначные числа, используя цифры 3, 4 и 5. Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3? Как связано решение данной задачи с понятием декартова произведения множеств?
3. Перечислите элементы декартова произведения A ´ В, если: а) А = {a, b, c, d}, B = { b, k, l}; б) А = В = {a, b, c}; в) А = {a, b, c}, В = Æ.
4. Даны множества А = {1, 3, 5} и В = {2, 4}. Перечислите элементы множеств A ´ В и В ´ А. Верно ли, что: а) Множества A ´ В и В ´ А содержат одинаковое число элементов; б) Множества A ´ В и В ´ А равны?
5. Проверьте справедливость равенства (AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С) для множеств А = {3, 5, 7}, В = {7, 9}, С = {0, 1}. Выполняется ли для них равенство (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С) ?
6. Сколько букв в слове «барабан»? Сколько различных букв в этом слове? Сформулируйте эту задачу, используя понятия множества и кортежа.
7. Чем отличается множество цифр в записи числа 56576 от кортежа цифр в его записи?
8. Изобразите в прямоугольной системе координат множество A ´ В, если: а) А = [-2; 2]. В = {2, 3, 4}; б) А = [-2; 2]. В = (2, 4); в) А = R, В = [2; 4].
Творческие задания
1. Изобразите на декартовой плоскости множество [ 0; 1) ´ (0,1); {0; 1} ´ [ 0; 1); [ 0; 1) ´ R; N ´ R; N ´ {1;2};{1;2} ´ N; {5;6;9}´ R.
2. В звене 7 мальчиков и 6 девочек. Сколькими способами можно выбрать пару учеников, состоящую из мальчика и девочки, для дежурства по классу?
3. В каких случаях А´В = В´А?
4. Составьте таблицу результатов однокругового шахматного турнира трех: Иванова, Петрова, Сидорова (результаты возьмите произвольно).
5. Фабрика верхнего трикотажа изготовляет мужские пуловеры, женские костюмы, кофты и платья следующих расцветок: бордовая, синяя, голубая, зеленая, коричневая, серая. Составьте таблицу, иллюстрирующую декартово произведение множества изделий и множества цветов, и заполните ее.
6. Решите следующие задачи, построив дерево возможных вариантов: А) у продавца имеется три варианта мороженного: клубничное, сливочное и ореховое. Наташа и Катя решили купить по одной порции. Сколько существует вариантов такой покупки? Б) Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?