Модуль 2. элементы математической логики

Изучая математику в школе в школе, колледже, вузе, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства. Такие знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в дальнейшем.

Изучение этого материала связано с овладением теоретико–множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса.

Студент должен уметь:

· анализировать логическую структуру определений понятий, находить логические ошибки в определениях знакомых понятий;

· пользоваться определениями при решении задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия;

· анализировать логическую структуру высказываний (высказывательных форм) и находить значение истинности составных высказываний (в том числе высказываний с кванторами);

· строить отрицание высказываний различной структуры;

· устанавливать наличие (отсутствие) отношения логического следования (равносильности) между высказывательными формами;

· решать текстовые задачи различными методами и способами; обосновывать выбор действия при арифметическом методе решения, используя соответствующую математическую теорию.

СТРУКТУРА МОДУЛЯ

Название разделов и тем	Кол-во часов
лекции/ практ	С/Р
Л	П
МОДУЛЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ИХ СТРУКТУРА
Тема 7. Математические понятия
Тема 8. Математические предложения. Высказывания и высказывательные формы
Тема 9. Математические доказательства
Тема 11. Комбинаторные задачи. Решение комбинаторных задач
Коллоквиум
Всего за модуль

СОДЕРЖАНИЕ МОДУЛЯ

ТЕМА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ (ЛЕКЦИЯ)

Содержание

1.Математические понятия. Объем и содержание понятия

2.Отношения рода и вида между понятиями

3.Определение понятий

4.Требования к определению понятий

5.Контекстуальные и остенсивные определения (С/Р)

Основная литература [ ];

Дополнительная литература [ ]

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Цель. Рассмотреть общие подходы к изучению понятий в начальном курсе математики, овладеть знаниями об объеме и содержании математических понятий, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий, а также правила конструирования определений, через род и видовое отличие.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Математические понятия.

2. Объем и содержание понятия.

3. Отношения рода и вида между понятиями.

4. Определение понятий.

5. Требования к определению понятий.

6. Контекстуальные и остенсивные определения в начальном курсе математики.

Представления о математических понятиях -

Ø это понятия об идеальных объектах;

Ø каждое математическое понятие имеет название (термин), объем и содержание;

Ø математические понятия могут находиться в отношении рода и вида, если их объемы находятся в отношении включения, но не совпадают;

Ø математические понятия могут быть тождественными, если их объемы совпадают;

Ø понятиям дают определения; они могут быть явными и неявными; к неявным относят контекстуальные и остенсивные определения; среди явных чаще всего используются определения через род и видовое отличие;

Ø при воспроизведении или конструировании определений через род и видовое отличие необходимо соблюдать ряд правил: определение должно быть соразмерным, в нем не должно быть порочного круга, оно должно быть ясным.

Обозначения

- «есть (по определению)»;

а в – а есть (по определению) в, где а первое понятие, а в – второе понятие.

а - определение через род и видовое отличие, где а - определяемое понятие, в - определяющее понятие, с - родовое понятие (по отношению к определяемому), а видовое отличие – Р.

Практическая часть

Обязательные задания

1. Начертите три геометрические фигуры, принадлежащие объему понятия: а) параллелограмм; б) трапеция; в) окружность.

2. Назовите пять существенных свойств понятия: а) треугольник; б) круг.

3. Каков объем понятия: а) однозначное число; б) натуральное число; в) луч?

4. Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и квадрата. Какое из следующих утверждений верное: а) Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику. б) Всякое свойство прямоугольника присуще квадрату?

5. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол; в) луч и прямая; г) ромб и квадрат; д) круг и окружность?

Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий а, в и с, если: а) а – «четырехугольник», в – «трапеция», с – «прямоугольник»; б) а – «натуральное число, кратное 3», в – «натуральное число, кратное 4», с – «натуральное число»; в) а – «треугольник», в – «равнобедренный треугольник», с – «равносторонний треугольник».

6. Приведите примеры понятий, отношения между которыми изображены на рисунке.

а) б)

7. Среди понятий, изучаемых в начальном курсе математики, есть такие, как «четное число», «треугольник», «многоугольник», «число», «трехзначное число», «прямой угол», «сумма», «слагаемое», «выражение». Есть ли среди них понятия, находящиеся в отношении: а) рода и вида; б) целого и части?

8. Какие свойства понятий «прямоугольник» и «сложение» изучают в начальном курсе математики?

9. Переформулируйте следующие определения, используя слова «тогда и только тогда, когда»:

а) Четным называется число, которое делится на 2.

б) Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

в) Множества А и В называются равными, если А Ì В и В Ì А.

г) Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

10. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятие, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие: а) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны; б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

11. Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличии каждого из следующих определений: а) Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам; б) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

12. Соразмеримы ли следующие определения: а) Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого есть острый угол; б) Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого есть прямой угол.

13. Учащийся определил прямой угол, стороны которого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?

14. Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если есть, то исправьте их.

а) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

б) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам.

в) Сложением называется действие, при котором числа складываются.

г) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все стороны и все углы.

д) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

15. Дайте определение: тупоугольного треугольника, равнобедренного треугольника, трапеции. Какие понятия вы выбрали в качестве родового в каждом случае? Какие свойства включили в видовое отличие?

Творческие задания

1. Что нужно сделать, чтобы проверить непустоту понятий: а) «параллельные прямые», б) «прямоугольник», в) «число 1000000».

2. Объясните, почему следующее определение разности множеств является широким: «разностью множеств А\В называется множество элементов А, не принадлежащих В».

3. Понятие «противоположные стороны прямоугольника» в начальном курсе математики можно определить так: «Красным цветом обозначены две противоположные стороны прямоугольника. А синим цветом – две другие противоположные стороны» (все это показано на рисунке). Какой способ определения понятия использован?

4. Выясните, каким способом определяются в различных учебниках по математике для начальных классов понятия: а) выражение; б) четное число; в) сумма; г) однозначное число; д) слагаемое; е) умножение.