Некоторые необходимые обозначения и определения

Федеральное государственное образовательное бюджетное

Учреждение высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

Им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

___________

П.З. Мкртычян.

МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ СОМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

СПбГУТ )))

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

УДК

ББК

Рецензент

заведующий кафедрой Высшей математики ПГУПС

кандидат физ.-мат. наук, проф. Гарбарук В.В.

Утверждено редакционно-издательским советом СПбГУТ

в качестве методических указаний

Мкртычян П.З.

Математика. Теория пределов. Методические указания / П.З. Мкртычян . – СПб.: Издательство СПбГУТ, 2014.   В методических указаниях подробно представлены необходимые теоретические положения теории пределов, в том числе, и правило Лопиталя раскрытия неопределённостей, подробно разобрано большое количество примеров. Методические указания содержат 25 вариантов контрольных работ на вычисление пределов. Данное издание можно использовать для самостоятельного освоения студентами-бакалаврами технических специальностей практической части указанного раздела высшей математики.

УДК

ББК

© Мкртычян П.З. 2014

© Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч‑Бруевича».

-2-

Содержание

1.Некоторые необходимые обозначения и определения………………………………4

2.Определения пределов…………………………………………………………………………………6

3.Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов……………….12

4.Непрерывные функции…………………………………………………………………………………14

5.Замечательные пределы……………………………………………………………………………….15

6.Сравнение бесконечно малых. Принцип эквивалентности…………………………17

7.Вычисление пределов…………………………………………………………………………………..19

8.Вычисление пределов по правилу Лопиталя……………………………………………….26

9.Варианты контрольных заданий…………………………………………………………………..29

10.Литература……………………………………………………………………………………………………41

-3-

Некоторые необходимые обозначения и определения.

Понятие предела является одним из основных понятий математического анализа.

Прежде, чем дать определение предела, приведём некоторые необходимые обозначения и определения.

Множество всех вещественных чисел будем обозначать через R. Следующие значки означают: не принадлежит, содержится,

любой, существует, следует, тогда и только тогда. Заглавными буквами A,Bи т.д. будем обозначать множества вещественных чисел ( т.е. A , B ), а малыми буквами a, b и т.д. их элементы (a ).

Определение 1.1. -окрестностью точки R называется множество т.е. множество, состоящее из всех тех чисел , которые удовлетворяют неравенству . Нетрудно понять, что .

Определение 1.2. -окрестностью «плюс бесконечности» (+ называется множество =(

Определение 1.3. -окрестностью «минус бесконечности» ( называется множество =(

Определение 1.4. -окрестностью « бесконечности» ( называется множество =( (

Заметим, что предполагается только в определении 1.1. Если в

Определение 1.5.Точка называется внутренней точкой множества A , если она принадлежит множеству A вместе с некоторой своей -окрестностью.

Определение 1.6. Множество A называется открытым, если все его точки внутренние.

Пример 1.1.Всякий открытый интервал (a,b) является открытым множеством.

-4-

Определение 1.7.Окрестностью точки называется всякий открытый интервал (a,b), содержащий точку

Заметим, что -окрестность точки является также её окрестностью.

Определение 1.8.Точка называется граничной точкой множества A , если всякая её окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству A, так и не принадлежащие ему.

Заметим, что граничная точка может принадлежать множеству, а может и не принадлежать ему.

Пример 1.2. Граничными точками множества A= являются точки a и b, но точка a принадлежит множеству A, а b не принадлежит ему.

Определение 1.9.Объединение множества А с множеством его граничных точек называется замыканием множества А и обозначается .

Определение 1.10. ЕслиА= , то множество А называется замкнутым.

Пример 1.3. , , .

Определение 1.11. Точка называется предельной точкой множества А, если любая её окрестность содержит точку множества А, отличную от точки .

Заметим, что предельная точка множества может принадлежать этому множеству, а может и не принадлежать ему; точка, принадлежащая множеству, может не быть его предельной точкой.

Определение 1.12.Точка называется изолированной точкой множества А, если она принадлежит множеству А и не является его предельной точкой.

Пример 1.4.Пусть А=(0,1) . Предельными точками множества А являются только и только все точки интервала [0,1]; точка x=2 является изолированной точкой множества А.

Пример 1.4.Все точки множества натуральных чисел N={1,2,3,…} являются изолированными. У множества N есть только одна предельная точка +

-5-

Определения пределов.

Пусть задана числовая функция с областью определения А и

- предельная точка множества А. В этом параграфе будут приведены определения предела функции при , стремящемся к . На интуитивном уровне должно быть понятно, что это означает, что при приближении к значение функции становится сколь угодно близким к

Например, нетрудно догадаться, что при , стремящемся к 3 пределом функции должно быть число 9= .

Определение 2.1. Пусть - предельная точка области определения А функции (всюду ниже будем это предполагать, не оговаривая особо). Тогда называется пределом функции при , стремящемся к , (это обозначается так: ), если для (любой) -окрестности (существует) такая -окрестность точки что из того, что , следует, что) .

Замечание 2.1.Если в приведённом определении - и -окрестности заменить на окрестности точек и соответственно, то получится определение, эквивалентное приведённому.

Замечание 2.2.В приведённом определении каждая из величин и может быть как конечной, так и равной + т.е. оно содержит шестнадцать определений предела.

Приведённое определение называется определением предела на языке окрестностей.

Учитывая то, какими неравенствами описываются - и -окрестности конечных точек и бесконечностей, приведём теперь все шестнадцать определений пределов на так называемом языке , эквивалентные определению 2.1. Некоторые из них проиллюстрируем рисунками.

Всюду ниже величины и предполагаются конечными.

Определение 2.2.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

-6-

Запись « » означает, что зависит от . Всюду ниже мы для краткости

будем писать просто

Рис.1

Заштрихованный интервал на оси OY это окрестность , которая описывается неравенством , а заштрихованный интервал на оси OX это окрестность которая описывается неравенством

Пример 2.1. .

Для произвольного достаточно малого решением неравенства будет интервал, описываемый неравенством , или откуда видно, что если положить , то из того, что .

Определение 2.3.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Рис.2

-7-

Заштрихованный интервал на оси OY это окрестность , которая описывается неравенством , а заштрихованный интервал на оси OX это окрестность которая описывается неравенством

Пример 2.2.

Действительно, для неравенство выполнено, как только , если ; если же , то при любом

Определение 2.4.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Иллюстрацией определения 2.4 является зеркальное отражение рисунка 2 относительно оси OX.

Пример 2.3.Очевидно, что

Определение 2.5.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Рис.3

Заштрихованное множество на оси OY это окрестность , которая описывается неравенством , а заштрихованный интервал на оси OX это окрестность которая описывается неравенством Заметим, что если

,то R.

-8-

Определение 2.6.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Рис.4

На осях OY и OX заштрихованы соответственно интервалы и ( . Это соответственно окрестности и , которые описываются неравенствами и .

Пример 2.4.

Действительно, для неравенство , как только .

Определение 2.7.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Рис.5

Заштрихованные на осях OX и OY множества – это и ( = .

Определение 2.8.Говорят, что , если для такое,

-9-

что из того, что

Иллюстрацией определения 2.8 является зеркальное отражение рисунка 5 относительно оси ОХ.

Пример 2.5. .

Действительно, для из того, что = ,

Определение 2.9.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Пример 2.6.Пусть , если рациональное, и , если рациональное. Очевидно, что , так как для из того, что = .

Определение 2.10.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Иллюстрацией определения 2.10 является зеркальное отражение рисунка 4 относительно оси ОY.

Пример 2.7.

Определение 2.11.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Иллюстрацией определения 2.11 является зеркальное отражение рисунка 5 относительно оси ОY.

Определение 2.12.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Иллюстрацией определения 2.12 является зеркальное отражение рисунка 5 относительно осей ОY и ОХ.

Пример 2.8. .

Определение 2.13.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

-10-

Пример 2.9.Для функции , рассмотренной в примере 2.6, имеем: .

Определение 2.14.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Нетрудно понять, что .

Пример 2.10. (см. примеры 2.4 и 2.7).

Определение 2.15.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Определение 2.16.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Опять же,

Пример 2.11. .

Определение 2.17.Говорят, что , если для такое, что из того, что .

Очевидно, что

Пример 2.12.Для функции , рассмотренной в примере 2.6, имеем: .

Приведём теперь определения односторонних пределов.

Определение 2.18. называется левосторонним (правосторонним) пределом функции при , стремящемся к слева (справа), если для такое, что из того, что .

Левосторонний и правосторонний пределы обозначаются соответственно

и .

Определение 2.19.Говорят, что ( , если для такое, что из того, что -11-

.

Определение 2.20.Говорят, что , ( , если для такое, что из того, что .

Определение 2.21.Говорят, что , ( , если для такое, что из того, что

Пример 2.13.Нетрудно понять, что , .

Справедлива следующая

Теорема 2.1 (о единственности предела).Если и , то .

Нетрудно убедиться, что справедлива следующая

Теорема 2.2. .