Геометрические вероятности
| Дан отрезок: | L | ||||||
| l | |||||||
L - длина отрезка
l - часть отрезка
На отрезок L наугад наносится точка.
Вероятность попадания в отрезок l :
| P = | l |
| L |
Дана плоская фигура:
| g | |||||
| G - площадь всей фигуры | |||||
| g - площадь части фигуры | |||||
| G | |||||
| P = | g |
| G |
Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру.
| P = | v |
| V |
| где: | V- объем всей фигуры |
| v- объем части фигуры |
Пример. На отрезке L=16 см помещен отрезок l=4 см. Найти вероятность того , что наугад поставленная на отрезок L точка попадет в отрезок l.
Решение.
Искомая вероятность равна 
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
| 1. | На отрезке L = 20 см помещен отрезок l= 10 см. Найти вероятность того, что наугад поставленная на отрезок L точка попадет в отрезок l. |
| 2. | В круге радиусом R есть круг радиуса r. Найти вероятность того, что наугад брошенная в большой круг точка попадет в малый круг. |
| 3. | Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиусом r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых. |
| 4. | На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной a наудачу брошена монета радиусом r < a/2. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из сторон квадрата: |
| 5. | На плоскости начерчены две концентрические окружности с радиусами 5 см и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадет в кольцо, образованное двумя окружностями. |
КОСВЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основные понятия
| №№ пп | События | Сущность Событий | Обозначения |
| 1. | Несовместные | Одно из двух | (А+В) |
| 2. | Противоположные | (А+В) | |
| 3. | Совместные: | ||
| - независимые | - совместное наступление | (АВ) | |
| - хотя бы одно из 2-х | А+В | ||
| - зависимые | - совместное наступление | (АВ) | |
| 4. | Условная вероятность | вероятность события А при условии события x | P(A/x) |
Основные теоремы теории вероятностей
| Название теоремы | Трактовка теоремы | Обозначения |
| Теорема сложения вероятностей не-совместных собы-тий | Вероятность наступления одного из 2-х несов-местных событий равна сумме вероятностей этих событий. | P(A+B) = P(A) + P(B) |
| Теорема умножения вероятностей | Вероятность совместного наступления 2-х независимых событий равна произведению их вероятностей | P(AB) = P(A) * P(B |
| Название теоремы | Трактовка теоремы | Обозначения |
| Теорема сложения вероятностей сов-местных событий | Вероятность наступления хотя бы одного из 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления. | P(A+B)=P(A)+P(B)-Р(АВ) Графически это можно пояснить так: |
| 100% | |||||||
| Р(А) | |||||||
| Р(В) | |||||||
| Часть вероятности наступления каждого события совпадает с вероятностью их совместного наступления. | |||||||
Примеры:
1. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть оков?
Решение
Введем обозначения событий”:
А - ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков;
Аi – на выпавшей грани i-той кости (i = 1, 2, 3, … , n) не появится 6 очков.
Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий А1, А2, А3, … Аn, т.е. А=А1 А2, … Аn.
Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна Р(Аi) = 5/6
События Аi независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:
Р(А) = Р(А1 А1, … Аn) = Р(А1) Р(А2) … Р(Аn) = (5/6)n
По условию (5/6)n < 0,3. Следовательно, n ln(5/6) < ln 0,3.
Отсюда, учитывая, что ln(5/6) < 0, найдем: n>6,6.
Т.о. искомое число игральных костей n ³7.
2. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Решение
Введем обозначения событий”:
А - первый взятый учебник имеет переплет;
В – второй учебник имеет переплет.
Вероятность того, что первый учебник имеет переплет:
Р(А) = 3/6 = 1/2
Вероятность того, что второй учебник имеет переплет при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная вероятность события В:
РА(В) = 2/5
Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей равна:
Р(АВ) = Р(А) РА(В) = 1/2 . 2/5 = 0,2.
3. Разрыв электрической цепи происходит в том случае , когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того , что не будет разрыва цепи , если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3 , 0,4 и 0,6. Как изменится искомая вероятность , если первый элемент не выходит из строя?
Решение.
Искомая вероятность равна вероятности того , что не выйдут из строя все три элемента. Пусть событие 
означает , что k-й элемент не выйдет из строя (k=1,2,3). Тогда p=P( 
. Так как события независимы , то
Если первый элемент не выходит из строя , то
