Прохождение случайных сигналов через линейные системы

Существует два подхода к исследованию систем управления при случайных возмущениях:

1) вероятностный – на основе плотностей распределения вероятностей;

2) статистический – с помощью усредненных характеристик: математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции, спектральной плотности.

Применение вероятностного подхода, как правило, связано со значительными трудностями. С одной стороны, они вызваны недостатком информации о плотностях распределения случайных сигналов. С другой стороны, существующий математический аппарат достаточно сложен. Приведем только один важный факт: если входной сигнал имеет нормальное распределение, то на выходе линейной системы будет также сигнал с нормальным распределением.

В прикладных задачах нас чаще всего интересует не плотность распределения вероятностей на выходе системы, а некоторые более осязаемые характеристики – среднее значение, дисперсия и т.д. Поэтому в подавляющем большинстве случаев используется статистический подход. Далее мы будем предполагать, что на вход линейной системы с известной передаточной функцией Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru действует стационарный случайный процесс с заданной спектральной плотностью Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

Прежде всего, отметим, что при стационарном случайном входе выход Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru линейной системы – тоже стационарный случайный процесс (линейная система его не «портит»). Для процесса Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru требуется найти

· математическое ожидание Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru ;

· дисперсию Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru ;

· корреляционную функцию Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru ;

· спектральную плотность Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

Проще всего решается вопрос с математическим ожиданием: среднее значение выхода равно среднему значению входа, умноженному на статический коэффициент усиления системы (коэффициент усиления постоянного сигнала):

Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

Учитывая, что в линейных системах справедлив принцип суперпозиции (реакция на сумму двух сигналов равна сумме реакций на отдельные сигналы), далее мы для простоты будем рассматривать только центрированные процессы, имеющие нулевые средние значения.

Остальные характеристики удобнее определять с помощью спектральной плотности выхода. Вспомним, что спектральная плотность – это плотность распределения мощности сигнала по частотам. Сначала рассмотрим, как изменяется мощность гармонического сигнала Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru , когда он проходит через линейную систему. Из классической теории автоматического управления известно, что на выходе устанавливается гармонический процесс с той же частотой, но с другой амплитудой и фазой:

Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru ,

причем его амплитуда Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru определяется по частотной характеристике Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru :

Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

Мощность гармонического сигнала (средний квадрат) пропорциональна квадрату амплитуды:

Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

В последнем равенстве использовано свойство комплексного числа Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru – квадрат его модуля равен произведению этого числа на комплексно-сопряженное, то есть на Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

Таким образом, мы с помощью простых рассуждений вышли на очень важный результат: при гармоническом входе с частотой Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru мощность сигнала на выходе линейной системы равна мощности входного сигнала, умноженной на Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru . Учитывая, что это свойство справедливо на всех частотах, и заменив слово «мощность» на «спектральную плотность», получаем формулу, позволяющую сразу найти спектр процесса на выходе:

Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

Соответствующая корреляционная функция Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru может быть найдена как обратное преобразование Фурье от Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru . Для вычисление среднего квадрата процесса Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru нужно проинтегрировать Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru :

Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

Если процесс центрированный, средний квадрат совпадает с дисперсией, то есть Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru . В общем случае для вычисления дисперсии нужно использовать равенство Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

Выделим один важный случай, когда входной сигнал – это единичный белый шум с постоянной спектральной плотностью Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru (белый шум единичной интенсивности). Тогда получаем

Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru .

(6)

Таким образом, спектральная плотность выхода системы, на вход которой действует единичный белый шум, равна квадрату ее амплитудной характеристики.

Пусть передаточная функция линейной системы равна Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru . Белый шум, проходя через такое звено, превращается в сигнал, имеющий спектральную плотность

Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru ,

график которой показан на рисунке:

Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru

Белый шум «содержит» все частоты, но они по-разному преобразуются. Постоянный сигнал (имеющий частоту Прохождение случайных сигналов через линейные системы - student2.ru ) передается на выход системы без изменений. На низких частотах искажения достаточно малые, а высокие частоты подавляются (фильтруются) системой. Это типичный фильтр низких частот (он пропускает низкочастотные сигналы и блокирует высокочастотные). Отметим очень важный факт: поскольку высокие частоты подавляются, отклонения спектра входного сигнала от равномерного спектра белого шума в этой области не будут существенно влиять на спектр выхода. На этой идее основано компьютерное моделирование случайных процессов (см. далее).

Наши рекомендации