Л а б о р а т о р н а я р а б о т а 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗВЕНЬЕВ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ САР
Ц Е Л Ь Р А Б О Т Ы - исследование временных характеристик типовых звеньев линейных стационарных САР.
2.1. краткие сведения из теории
К временным характеристикам систем (звена) относятся переходная функция и импульсная переходная (весовая) функция.
Переходной функцией h(t) называют реакцию (отклик) системы (звена) на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функция 1(t).
Импульсной переходной функцией w(t) называют реакцию (отклик) системы (звена) на входное воздействие в виде идеального импульса (d – функции).
Любая из временных характеристик содержит исчерпывающие сведения о динамике системы (звена), т.е. на ее основании может быть составлено математическое описание системы (звена) в виде дифференциального уравнения, либо передаточной функции.
Связь между временными характеристиками системы (звена) определяется соотношениями:
.
Связь между временными характеристиками и передаточной функцией W(p) определяется следующими соотношениями:
где символ L означает прямое преобразование Лапласа от временной характеристики; L–1– обратное преобразование Лапласа.
В данной работе, используя моделирование, получают переходную функцию h(t) и весовую функцию w(t) типовых звеньев, которые рассматриваются как модели реальных звеньев, входящих в состав системы.
Экспериментальные исследования заключаются в следующем. На вход звена подается сигнал в виде единичной ступенчатой функции. На выходе звена регистрируется реакция последнего на входное воздействие. При подаче на вход звена d – функции, на его выходе регистрируется весовая функция. По полученным графикам переходной и весовой функций рассчитываются требуемые коэффициенты передаточной функции.
2.1.1. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
Передаточная функция апериодического звена
, (2.1)
где k и Т– соответственно коэффициент передачи и постоянная времени звена.
Его дифференциальное уравнение
. (2.2)
Переходная функция звена определяется из его дифференциального уравнения (2.2) при x(t) = 1(t)
при t > 0, (2.3)
т.е. переходная, функция представляет собой экспоненту вида рис. 2.1, a. Свойства экспоненты позволяют легко находить постоянную времени и коэффициент передачи звена.
При x(t) = a 1(t) и 
(2.4)
При t = 0 у(0) = 0.
Зная значения t = t1 и y(t1) = с , определяем T
=> 
. (2.5)
Импульсная переходная функция звена определяется путем дифференцирования переходной функции h(t):
, (2.6)
т.е. весовая функция представляет собой экспоненту вида рис. 2.1.б.
При 
, 
.
В момент времени t1
=> 
(2.7)
(2.8)
 |
2.1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ.
Передаточные функции дифференцирующих звеньев:
- идеального 
(2.9)
- реального 
(2.10)
где k - коэффициент передачи звена; Т – постоянная времени звена.
Дифференциальные уравнения дифференцирующих звеньев:
- идеального 
(2.11)
- реального 
(2.12)
Переходная функция дифференцирующего звена определяется из его дифференциального уравнения (2.11), (2.12) при x(t) = 1(t) (рис. 2.2, а)
- идеального 
при t > 0, (2.13)
- реального 
при t > 0. (2.14)
Весовая функция дифференцирующего звена (рис. 2.2, б):
- идеального 
, (2.15)
- реального 
. (2.16)
 |
Для реального дифференцирующего звена можно определить коеффициенты передаточной функции.
Из переходной функции (рис. 2.2, а): ; 
. (2.17)
Из весовой функции (рис. 2.2, б): ; 
. (2.18)
2.1.3. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ.
Передаточные функции интегрирующих звеньев:
- идеального 
(2.19)
- реального 
(2.20)
где k - коэффициент передачи звена; Т – постоянная времени звена.
Дифференциальные уравнения интегрирующих звеньев:
- идеального 
(2.21)
- реального 
(2.22)
Переходная функция интегрирующего звена определяется из его дифференциального уравнения (2.21), (2.22) при x(t) = 1(t) (рис. 2.3, а)
- идеального 
при t > 0, (2.23)
- реального 
при t > 0. (2.24)
Весовая функция интегрирующего звена (рис. 2.3, б):
- идеального 
, (2.25)
- реального . (2.26)
 |
Для реального интегрирующего звена можно определить коеффициенты передаточной функции.
Из переходной функции (рис. 2.3, а):
(2.27)
Из весовой функции (рис. 2.3, б): ; 
. (2.28)
2.1.4. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО
Передаточная функция колебательного звена
. (2.29)
где k – коэффициент передачи , Т – постоянная времени , x – декремент затухания (О < x < 1).
Его дифференциальное уравнение
. (2.30)
Переходная функция звена:
при t > 0, (2.31)
где 
– степень устойчивости,
– частота собственных колебаний,
– фазовый сдвиг.
Вид графика переходной функции представлен на рис. 2.4, а.
Весовая функция звена (рис. 2.4, б):
(2.32)
 |
Параметры T, x, j, a, w0 связаны между собой зависимостями и полностью определяются любой парой величин, например, a и w0:
; 
; 
. (2.33)
Величины a и w0 легко найти по графикам переходной (рис. 2.4,а) и весовой (рис. 2.4,б) функции. Так, например, a представляет собой величину, обратную постоянной времени ТЭ экспоненты, огибающей затухающие колебания, а параметр w0 – круговую частоту этих колебаний:
для переходной функции: 
; 
; (2.34)
для весовой функции: 
; . (2.35)
2.2. Моделирование временных характеристик типовых звеньев с использованием MATLAB
На рис. 2.5 представлена схема моделирования для получения переходных характеристик типовых звеньев с использованием пакета simulink.
| |||
 |
Для получения переходной характеристики на вход звена подается ступенчатое воздействие, параметры которого задаются в блоке Step (рис. 2.6).
Вместо блока W(p) (рис. 2.5) в схему моделирования вставляется модель исследуемого звена, структурные схемы которых приведены на рис. 2.7.
На рис. 2.8 представлена схема моделирования для получения импульсных переходных характеристик типовых звеньев с использованием пакета simulink. Особенность данной схемы заключается в формировании единичного импульса, для получения которого применяются три блока: два блока Step и один блок суммирования - Sum (рис. 2.8). Параметры блоков Step и Step1 задаются согласно рис. 2.9.
|
|
 |
| |||
|
 |
|
2.3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Собрать схему получения переходных функций типовых звеньев согласно рис. 2.5. В качестве исследуемого звена (блок W(p)) использовать модель апериодического звена (рис. 2.7, а). Установить коэффициент передачи k = 2; постоянную времени Т = 2 с.
2. Выполнить моделирование переходной характеристики апериодического звена. Для экспериментального определения коэффициентов передаточной функции произвести измерения необходимых параметров и занести их в таблицу 2.1.
Таблица 2.1.
| Звено | a | b | c1 | c2 | t1, c | T2, c | T0, c |
| Апериодическое | --- | --- | --- | ||||
| Реальное дифференцирующее | --- | --- | --- | ||||
| Реальное интегрирующее | --- | --- | |||||
| Колебательное звено | --- | --- |
3. Получить графики переходных функций дифференцирующих звеньев (k = 2; T = 2 c), интегрирующих звеньев (k = 2; T = 2) и колебательного звена (k = 2; Т = 0.5 с; x = 0.3). Зарисовать полученные графики переходных функций и занести в таблицу 2.1 требуемые параметры.
4. Исследовать влияние коэффициентов передаточной функции k , Т, x на параметры переходных функций. Для этого необходимо получить графики переходных функций для следующих случаев:
- апериодическое звено: k = 4, T = 2 c; k = 2, T = 4 c;
- реальное дифференцирующее звено: k = 4, T = 2 c; k = 2, T = 4 c;
- реальное интегрирующее звено: k = 4, T = 2 c; k = 2, T = 4 c;
- колебательное звено k = 4, x = 0.3, T = 0.5 c; k = 2, x = 0.3, T = 0.8 c;
k = 2, x = 0.5, T = 0.5 c.
Полученные графики необходимо приводить в одной системе координат с исходной переходной функцией.
5. Собрать схему получения импульсных переходных функций типовых звеньев согласно рис. 2.8. В качестве исследуемого звена (блок W(p)) использовать модель апериодического звена (рис. 2.7, а), с такими же параметрами, как и при получении переходной функции.
6. Выполнить моделирование импульсной переходной характеристики апериодического звена. Для экспериментального определения коэффициентов передаточной функции произвести измерения необходимых параметров и занести их в таблицу 2.2.
Таблица 2.2.
| Звено | b | c1 | с2 | t1, c | T0, c |
| Апериодическое | --- | --- | |||
| Реальное дифференцирующее | --- | ||||
| Реальное интегрирующее | --- | --- | |||
| Колебательное звено | --- |
7. Получить графики импульсных переходных функций дифференцирующих звеньев, интегрирующих звеньев и колебательного звена. Параметры звеньев взять из п. 3. Зарисовать полученные графики импульсных переходных функций и занести в таблицу 2.2 требуемые параметры.
8. Используя формулы (2.4), (2.5), (2.17), (2.27), (2.33), (2.34) и результаты экспериментальных измерений (табл. 2.1) определить экспериментальные значения параметров передаточных функций звеньев по переходным характеристикам.
9. Используя формулы (2.7), (2.8), (2.18), (2.28), (2.33), (2.35) и результаты экспериментальных измерений (табл. 2.2) определить экспериментальные значения параметров передаточных функций звеньев по импульсным переходным характеристикам.
10. Сделать выводы по результатам исследований: сопоставить экспериментальные данные с теоретическими значениями коэффициентов передаточных функций, оценить погрешности, определить влияние коэффициентов передаточной функции на временные характеристики типовых звеньев.
2.4. содержание отчета
1. Краткое описание задачи и метода исследования.
2. Схемы моделирования звеньев и схемы получения временных характеристик.
3. Графики переходных функций.
4. Графики импульсных переходных функций.
5. Передаточные функции исследуемых звеньев.
6. Экспериментальные и теоретические значения параметров передаточных функций, необходимые расчеты.
7. Выводы о работе.