Иррациональных функций

Правило 1. Ввести новую переменную " " так, чтобы можно было извлечь все корни, содержащиеся в функции (обычно функция содержит более одного корня; эти корни – разной степени).

Пример.

10) .

Мы сделали замену: ; при .

Правило 2. Перевести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот.

Пример.

11)

.

Умножили числитель и знаменатель на выражение , сопряженное числителю. В результате преобразований корни из числителя "исчезли", но появились в знаменателе.

Замечание. Задачи такого типа составляются и решаются следующим образом. Берем любые числа и и записываем с:

В случае примера 11: .

Правило 3. Разделить числитель и знаменатель на " " в наивысшей степени, встречающейся в функции (возможно, после некоторых преобразований функции). Правило применяется в случае, когда .

Пример.

12) .

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

Ответы:

1)1; 2) ; 3) 0; 4) -2; 5) ; 6) 4; 7) ; 8) ; 9) 3; 10) ; 11) ; 12) 1; 13) ; 14) 2; 15) .

Занятие 4.

Первый и второй замечательные пределы.

Вычисление пределов вида .

Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Определения. Первый замечательный предел: .

Второй замечательный предел: .

Следствия из формулы для второго замечательного предела:

; .

Обобщения формул для 1-го и 2-го замечательных пределов:

; ,

где при .

Нахождение пределов вида

Правило.

1)Если существует , ;

2)Если существует , находим непосредственно( , т.е. величина зависит от знака при символе " " и от того, или . Таким образом, либо , либо ).

3)Если , , то полагаем , где при , и находим по формуле: .

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение 1. Если , то называется бесконечно малой (большой) величиной (или функцией) при .

Определение 2. Если ( – бесконечно малые), то и называются эквивалентными бесконечно малыми. Пишем: при . Говорим: "функция эквивалентна функции при ".

Теорема. Пусть , при ( – бесконечно малые функции). Тогда:

.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при ( при ).

1. ; 8. ;

2. ; 9.

3. ; ( – натуральное число).

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

Примеры.

1) ,

;

2) ,

;

3) ;

4) ( при );

5) ( при );

6) ,

( при );

7) ( при );

8) ,

( при );

9) ,

( при );

10) ,

( при ; сделали преобразование – разделили числитель и знаменатель на " ");

11) (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию – это бесконечно малая функция, поэтому вышеуказанный предел равен нулю).

Задачи для самостоятельного решения

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 2.

Занятие 5.

Точки непрерывности и точки разрыва функции.

Классификация точек разрыва.