Понятие абсолютной и относительной погрешности, значащей и верной цифр

Ошибкой или погрешностью Dа приближенного значения а точного числа А называют разность (иногда ею называют разность ). Абсолютную величину разности между точным и приближенным значением D называют абсолютной погрешностью. Положительное число , удовлетворяющее неравенству

,

называется предельной абсолютной погрешностью. И для оценки точного числа пользуются записью , где задает границы его неопределенности.

Относительной погрешностью называется величина . Предельная относительная погрешность: . Если для определенности положить , и , то очевидно, что . Следовательно, выражение в левой части неравенства можно принять за предельную относительную погрешность . Обычно , в этом случае используют следующее приближение:

и .

Рассмотрим пример, связанный с погрешностью округления. Определим, какое из двух равенств, представленных ниже, окажется точнее

или .

Значения в левых частях равенств найдем с большим числом десятичных знаков, откуда вычислим абсолютную погрешность. Она составляет соответственно 0,0004210… и 0,0015926… Сами погрешности (и абсолютные и относительные) принято округлять с избытком, так как при этом границы неопределенности числа, как правило, увеличиваются. Округляя с избытком, получаем предельные абсолютные погрешности 0,00043 и 0,0016 соответственно. Предельные относительные погрешности так же соответственно составляют и . В результате получаем, что второе равенство оказалось точнее.

Кроме округления имеются другие источники погрешности: математическая модель, исходных данные, приближенный метод, погрешность машинных вычислений. При определении итоговой погрешности числа, погрешности, полученные от разных источников, складываются.

Пользоваться оценкой не всегда удобно. Так для физических констант и табличных данных границы неопределенности, как правило, не задаются, однако они всегда имеют определенную точность, связанную с понятиями значащей и верной цифры числа.

Значащими называют все цифры в записи числа, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе 0,042 значащими будут две цифры 4 и 2. Это же число можно записать, как и в этой записи так же две значащие цифры. В числе 350,0 все цифры значащие, при записи его как 350 или количество значащих цифр уменьшается и если изначально в числе определены четыре значащих цифры, то последние две его записи не правомерны.

Значащая цифра называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре.

Для числа 36,528, определенного с погрешностью 0,07 будут верными только цифры 3 и 6. Цифра 5 будет уже не верна, так как единица ее разряда это 0,1 а половина от этого значения меньше погрешности. Аналогично будут не верны цифры 2 и 8.

В числах принято оставлять только верные цифры, пользуясь при этом пользуясь правилами округления. В предыдущем примере, если оставить только первые две цифры, округлив число до 37, то погрешность округления составит 0,472. Общая погрешность составит 0,472+0,07=0,542. Это означает, что вторая цифра числа оказалась не верной и округление нужно продолжить. Округлив число до , получаем единственную верную цифру, погрешность числа в итоге составит 3,542.

В некоторых случаях используют понятие верной цифры в широком смысле. Это означает, что абсолютная погрешность числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре.

Справочные величины, как правило, имеют в своем составе все верные цифры в широком смысле. И если, например, задана некоторая физическая константа , то можно утверждать, что ее абсолютная погрешность не превышает 0,005. Данное значение можно принять за предельную абсолютную погрешность и вычислить предельную относительную погрешность: 0,005/8,31 » 6,02×10^-4 = 0,0602%. Если округлить результат с избытком до одной значащей цифры, то погрешность составит 0,07%.