Вычисление двойного интеграла

Случай прямоугольной области.

Пусть функция z = f(x,y) задана в прямоугольнике . Символ называется повторным интегралом в прямоугольнике (Р) и его смысл выражается равенством:

.

Теорема. Если в прямоугольнике задана непрерывная функция z=f(x,y) и существует интеграл при , то существует повторный интеграл и справедливо равенство

.

Теорема. Пусть функция z = f(x,y) непрерывна в замкнутой квадрируемой области (D), ограниченной снизу и сверху соответственно кривыми и , а слева и справа прямыми x = a и x = b (a < b) и для существует интеграл , тогда существует повторный интеграл и справедливо равенство

.

Аналогично .

Так как для функции независимые переменные равноправны, то при вычислении двойного интеграла путем сведения его к повторному порядок интегрирования выбирают таким образом, чтобы вычисления оказались наиболее рациональными. В связи с этим иногда для упрощения вычислений изменяют порядок интегрирования.

Пример 1. Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов (двумя способами), если область (D) ограничена прямыми x = 1,

x = 2, y = 0, y = 4.

Решение.

Рис. 2

Построив на чертеже прямые, ограничивающие область интегрирования, видим, что (D) представляет собой прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям (рис. 2). В этом случае обе переменные x и y изменяются в постоянных пределах , а формулы для вычисления двойного интеграла принимают соответственно вид: , .

Пример 2. Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов (двумя способами), если область (D) ограничена линиями x = 1, , .

Решение.

Рис. 3

Построим на чертеже линии, ограничивающие область интегрирования (рис.3): x = 1 – прямая, параллельная оси Oy; - одна ветвь параболы y=x2, расположенная справа от оси Oy; - одна ветвь параболы , расположенная ниже оси Ox. Видим, что (D) представляет собой криволинейную область. Возьмем сначала постоянные пределы по переменной x. Видим, что x изменяется в пределах от 0 до 1. Чтобы получить пределы интегрирования

по переменной y, пересечем область (D) лучом, параллельным оси Oy и сонаправленным с ней. Граница области, которую луч пересекает при входе в область, будет нижней границей этой области, а ее уравнение, решенное относительно y, служит для установления нижнего предела интегрирования по y (y=y₁(x)). В нашем случае - нижний предел интегрирования по y. Граница области, которую луч пересекает, выходя из области, будет верхней границей этой области, а ее уравнение, решенное относительно y, служит для установления верхнего предела интегрирования по y (y=y₂(x)). В нашем случае разрешая уравнение относительно y, получаем - верхний предел интегрирования по y. Таким образом, для каждого значения x из [0;1] переменная y принимает значения от до . Получим:

.

Рис. 4

Если постоянные пределы взять по переменной y, то . Однако, проведя два луча, параллельных оси Ox (рис. 4), замечаем, что точки входа в область лежат на разных кривых: для луча, расположенного выше оси Ox эта точка лежит на ветви параболы , а для луча, расположенного ниже оси Ox – на ветви параболы , точки же выхода лежат на одной прямой x=1. В связи с этим разобьем область (D) отрезком оси Ox на две области: (D1) для которой и (D2), для которой .

Далее, решив уравнения кривых относительно переменной x, получим пределы внутреннего интегрирования: нижний предел для (D₁): и нижний предел для (D₂): , верхний же предел для обеих областей будет x = 1. В итоге получим:

.то постоянные пределы взять по переменной нтегрирования по удет верхней границ

Пример 3. Изменить порядок интегрирования в интеграле

.

Решение.

Восстановим область интегрирования (D) (рис.5). Рассмотрим первый интеграл. Пределы интегрирования указывают уравнения кривых, дугами которых ограничена область интегрирования (D₁): y = –2, y = –1, x = 0, . Последнее уравнение преобразуется к виду – квадратичная парабола, вершина которой сдвинута на 2 единицы вниз.

Рис. 5

Так как во внутреннем интеграле нижний предел содержится со знаком «минус», следует взять левую ветвь параболы. Рассмотрим второй интеграл. Область (D2) ограничена кривыми, уравнения которых: y = –1, y = 0, x = 0, . Последнее уравнение преобразуется к виду – квадратичная парабола, ветви которой направлены вниз. Так как во внутреннем интеграле нижний предел содержится со знаком «минус», следует взять левую ветвь параболы. Приступаем к изменению порядка интегрирования

в данном интеграле, т.е. внутреннее интегрирование будем выполнять по переменной y, а внешнее – по переменной x. Для установления пределов интегрирования по переменной y проведем через область (D) луч параллельно оси Oy в направлении этой оси. Видим, что точка входа в область (D) лежит на параболе , а точка выхода – на параболе . Эти пределы являются нижним и верхним пределами интегрирования по переменной y. Так как для области (D) , то числа –1 и 0 будут пределами интегрирования по переменной x. В итоге получим:

.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле

.

Решение.

Рис. 6

Восстановим область интегрирования (D) (рис. 6). Рассмотрим первый интеграл. Пределы интегрирования указывают уравнения кривых, дугами которых ограничена область интегрирования (D1): , . Последнее уравнение преобразуется к виду – окружность с центром в точке (0,0) и радиусом, равным 2.

Так как во внутреннем интеграле нижний предел содержится со знаком «минус», следует взять нижнюю полуокружность.

Рассмотрим второй интеграл. Область (D₂) ограничена кривыми, уравнения которых: . Последнее уравнение преобразуется к виду - окружность с центром в точке (0, -2) и радиусом, равным 2. Так как во внутреннем интеграле нижний предел содержится со знаком «плюс», следует взять верхнюю полуокружность.

Приступаем к изменению порядка интегрирования в данном интеграле, т.е. внутреннее интегрирование будем выполнять по переменной x, а внешнее – по переменной y. Для установления пределов интегрирования по переменной x проведем через область (D) луч параллельно оси Ox в направлении этой оси. Видим, что точка входа в область (D) лежит на окружности , а точка выхода – на окружности . Выражаем из этих уравнений переменную x: . Из рис. 6 видно, что область (D) ограничивают левые полуокружности, следовательно берем значение x со знаком «минус». Получаем - нижний и верхний пределы интегрирования по переменной x. Так как для области (D) , то числа -1 и 0 будут пределами интегрирования по переменной y. В итоге получим:

.

Пример 5. Вычислить двойной интеграл , где область (D) ограничена линиями .

Решение.

Рис. 7

Область интегрирования (D) ограничена прямыми , и гиперболой (рис. 7). Выберем постоянные пределы интегрирования по переменной x: от 1 до 2. При этом y изменяется от до . Тогда

.

Ответ. .

Замечание. Если взять постоянные пределы по переменной y, то данный двойной интеграл будет представлен в виде суммы двух повторных интегралов, в связи с чем его вычисление усложняется.