Теплопроводность плоских стенок

1.2.1 Теплопроводность однослойной плоской стенки

Рассмотрим однородную плоскую стенку с толщиной , м и коэффициентом теплопроводности материала стенки , Вт/(м×К), представленную на рисунке 1.1.

Температурное поле в плоской стенке одномерное, а его градиент направлен по нормали к стенке, совпадающей с осью х. Изотермические поверхности в этом температурном поле представляют собой плоскости, параллельные наружным поверхностям стенки. Температура на левой поверхности стенки во всех точках равна t_ст1, на правой – t_ст2. Приняв, t_ст1> t_ст2, получим, что поток тепла направлен от t_ст1к t_ст2, и его величина постоянна для всей стенки, так как площадь всех изотермических поверхностей одинаковая.

Рисунок 1.1 – Схема температурного поля однослойной плоской стенки

Установим начало координат на левой поверхности стенки и выделим на расстоянии две изотермические поверхности на расстоянии друг от друга при изменении температуры на величину .

Уравнение теплопроводности (закон Фурье) для слоя будет иметь вид:

.

(1.3)

Принимая , получим дифференциальное уравнение первой степени с разделяемыми переменными, из которого, разделяя переменные, получим:

.

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, получим уравнение переменной температуры внутри плоской стенки

.

(1.4)

Из полученного уравнения следует, что при температура внутри плоской стенки изменяется по линейному закону (рисунок 1.1).

Постоянная интегрирования находится из граничных условий:

– при х = 0, t = t_ст1;

– при х = , t = t_ст2.

Подставляя первое граничное условие, имеем

С = tст1 и .

(1.5)

Подставляя второе граничное условие, получим уравнение вида

.

Решая полученное уравнение относительно величины , получим зависимость для определения теплового потока через плоскую стенку

.

(1.6)

Обозначим величину , К·м²/Вт и назовем ее термическим сопротивлением плоской стенки, тогда уравнение теплового потока для плоской стенки примет вид:

.

(1.7)

Уравнение теплопроводности в таком виде аналогично закону Ома для проводника, где тепловой поток соответствует силе тока, ( ) – разности потенциалов – движущей силе процесса, а R – электрическому сопротивлению.

Для строительных и теплоизоляционных материалов, для которых определяется уравнением (1.2), уравнение теплопроводности будет иметь вид:

.

(1.8)

Разделяя переменные, получим выражение

,

из которого после интегрирования получим

(1.9)

Определяем постоянную интегрирования из принятых граничных условий. После подстановки первого условия приходим к выражению вида

(1.10)

откуда

(1.11)

Из уравнения (1.9), подставляя значение С, имеем:

(1.12)

Если представить величину , то приходим к выражению

, и ,

(1.13)

Из уравнения (1.11) следует, что, заменяя величиной , определенной из уравнения (1.2) по температуре , можно в дальнейшем использовать уравнения (1.5) и (1.6), принимая .

Переменную температуру внутри плоской стенки можно найти, решая квадратное уравнение (1.11).

1.2.2 Теплопроводность многослойной плоской стенки

На практике плоская стенка встречается наиболее часто в виде многослойной конструкции с параллельными плотно прилегающими слоями.

Рассмотрим многослойную плоскую стенку, состоящую из однородных параллельных слоев с толщиной и постоянным коэффициентом теплопроводности в каждом слое. Температура на наружной поверхности первого слоя во всех точках равна , на поверхности последнего слоя – . Тепловой поток – постоянная величина для всех слоев и направлен в сторону понижения температуры.

Схема температурного поля такой многослойной плоской стенки представлена на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 – Схема температурного поля многослойной плоской стенки

Запишем уравнения (1.7) теплового потока при теплопроводности для каждого слоя в отдельности и представим их в виде системы:

Решая полученные уравнения относительно разности температур и складывая почленно их левые и правые части, после сокращения одинаковых температур с разными знаками, будем иметь:

+{

Тогда суммарное уравнение теплового потока для многослойной плоской стенки можно представить в виде:

(1.14)

Обозначим выражение в знаменателе как

(1.15)

и назовем его – термическое сопротивление многослойной стенки. Тогда уравнение теплового потока окончательно примет вид:

(1.16)

По аналогии с последовательным соединением электрических проводников, термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме термических сопротивлений всех ее отдельных слоев.

Для определения температуры в любом промежуточном слое t_i+1 используем условие постоянства теплового потока при любом числе слоев в уравнении (9.14)

(1.17)

откуда получаем выражение:

(1.18)

Пример решения

1.1. Последовательность выполнения задания 1.1.

Рисунок 1 - Эскиз боковой стенки топочной камеры

d₁= l₁=

d₂= l₂=

d₃= l₃=

d₄= l₄=

t₁= t₅=

q₀= q_м=

1.1.1. Удельный тепловой поток через многослойную плоскую стенку.

,

откуда

,

и требуемое значение толщины изоляционного слоя

.

Термическое сопротивление отдельных слоев стенки топки равны

Коэффициенты теплопроводности 1-го и 3-го слоя определяют по средней температуре в данном слое равной

Температуры t₂, t₃, и t₄ определяют из уравнений

где - l₁₀ и b₁ - коэффициенты в уравнении переменного коэффициента теплопроводности 1-го слоя.

Найденное значение толщины слоя изоляции d₃ округляют до ближайшего большего значения, кратного 0,01 м, после чего уточняют фактическое значение величин q₀, R₁, R₃ и температур t₂, t₃ и t₄.

График изменения температуры в слое изоляции d₃ (Рис. 2) строится по уравнению

,

,

где х, текущая координата в слое от

х=0 до х=d₃, м;

t_х, переменная температура в слое, от t_х=t₃ до t_х=t₄;

l₃₀ и b₃ - коэффициенты в уравнении переменного

Рисунок 2 – График изменения температуры

коэффициента теплопроводности изоляции , Вт/(м×К)

t₃ - температура на наружной поверхностислоя со стороны входа потока тепла q₀, °С.

1.1.2. График изменения температур t₁, t₂, t₃ и t₄ (Рис. 3) в зависимости от изменения величины теплового потока от q=q₀ до q=q_м, строится в следующей последовательности.

Задается несколько промежуточных значений величин теплового потока q_i от q_i=q₀ до q_i=q_м.

Для этих величин теплового потока вычисляются промежуточные значения температур t_4i, t_3i, t_2i и t_1i в указанной последовательности.

По найденным значениям температур строятся графики t_i=f(q_i), как показано на Рис. 3. Температуры t₁, t₂, t₃ и t₄ при значении q_i=q₀ , берутся из предыдущего расчета.

В расчетах используются следующие уравнения:

;

;

Для построения плавных кривых изменения температур необходимо принимать не менее 3-4 промежуточных значения q_i.

Рисунок 3 – Изменения температур

Рисунок 4 – Эскиз разреза стенки парогенерирующей трубы и график температуры в ней

ПЗ2 Конвективный теплообмен