Первая лекция после вводной (2.09.15)

Лекция 9 сентября 2015 г.,

Система факторов, действующих на исследуемый объект.

Полиномиальная модель.

При использовании компьютерных экспериментов может быть соблазн включить в модель не только члены, описывающие линейное влияние факторов, но и члены, в которых факторы имеют квадратичную, кубическую и более высокие степени. Также члены, описывающие взаимодействие (совместное влияние) различных факторов, в которых факторы могут иметь степени выше первой.

Недостаток задания такой формы модели при компьютерном экспериментировании.

Дублирование только одного опыта матрицы плана эксперимента.

Многофакторные эксперименты, их отличие от однофакторных экспериментов. Матрица плана эксперимента.

Интервалы варьирования факторов и форма математической модели, обратить внимание на наличие при трехуровневом экспериментировании в модели как квадратичного члена, так и линейного.

Задачи описания и экстремальные задачи.

Эффект совместного влияния факторов.

Модель полного факторного эксперимента 3² и его матрица плана в кодах F_i.

Сокращение числа опытов при ДФЭ: 3^3-1; 3^4-2.

Каталог В.З. Бродского или прием из комбинаторики.

Натуральный и кодированный масштабы факторов.

Метод наименьших квадратов для расчета коэффициентов математической модели в случае линейной модели с двумя факторами.

При проведении экспериментов сочетания уровней факторов в каж­дом из опытов выбирают в соответствии со столбцами главных эффектов: в табл. 5.1 это столбцы 3 и 4, в табл. 5.2 – столбцы 3, 4 и 5. Для удобства работы с экспериментальной установкой (или программным комплексом при компьютерном экспериментировании) столбцы главных эффектов матрицы плана эксперимента переписывают в натуральном масштабе, т.е. вместо 0, 1, 2, ... , S – 1, вписы­вают поставленные им в соответствие значения уровней количественных факторов в мм, %, градусах, МН, МПа и т.п. Для качественных факторов оставляют значения их уровней в кодах F_i .

После записи матрицы плана в натуральном масштабе проводится эксперимент: физический или компьютерный. Ре­зультаты каждого из опытов, в котором факторы находились на заданных строкой матрицы плана уровнях, записываются в этой же строке в столбце результатов , который обычно располагают последним (правым) в матри­це плане эксперимента.

После проведения эксперимента производится расчет коэффициен­тов математической модели.

Формула для расчета коэффициентов выводится с использованием метода наименьших квадратов:

, (5.4)

где и соответственно экспериментальные и рассчитанные по модели значения у в и -том опыте; N – общее число опытов.

При задании математической модели в виде:

выражение (5.4) принимает следующий вид:

. (5.5)

Для определения минимума функции (5.5)приравнивают нулю частные производные:

После дифференцирования получают следующую систему уравнений:

(5.6)

Система уравнений (5.6) решается достаточно легко, когда выполняются следующие условия:

Последние уравнения представляют собой суммы почленных произведений двух разных столбцов матрицы плана эксперимента.

В общем виде такое условие записывается как:

(5.7)

и носит название ортогональности матрицы плана.

В результате использования условия ортогональности система уравнений (5.6) принимает вид:

(5.8)

Для расчета коэффициентов даже не требуется решать эту систему уравнений. Каждый коэффициент определяется независимо от другого из своего уравнения системы:

или в общем виде

(5.9)

где – номер фактора.

Таким образом, для ортогональных планов формула для расчета коэффициентов несложная.

Проблема состоит в том, что матрицы плана эксперимента в кодах и в натуральном масштабе не отвечают условию ортогональности. Не отвечают они и условию симметричности

, (5.10) являющемуся составляющей условия ортогональности матрицы плана.

Для нессиметричных и неортогональных матриц плана эксперимента достаточно простых и удобных формул типа (5.8) для расчета коэффициентов математической модели не получено. Поэтому матрицу плана переводят из натурального в кодированный масштаб, в котором она симметрична и ортогональна.

В частности, строится математическая модель, имеющая в натуральном масштабе следующий вид:

В кодированном масштабе эта математическая модель запишется в виде:

(5.11)

В модели (5.11) – линейная функция от :

, (5.12)

где и – константы.

Из условия симметричности матрицы плана или , отсюда

. (5.13)

После подсчета коэффициенты подбирают таким образом, чтобы уровни представляли собой небольшие числа, лучше целые.

Входящая в модель (5.11) функция – квадратичная функция от :

(5.14)

где – константы.

Из условия симметричности матрицы плана

и, поскольку, , то и .

Отсюда . (5.15)

Из условия ортогональности матрицы плана

. (5.16)

После подстановки (5.14) в (5.16)

.

Из последнего выражения, с учетом условия симметричности матрицы плана

. (5.17)

Коэффициенты выбираются так, чтобы уровни представляли собой небольшие числа, лучше целые.

Для кубической функции от строится математическая модель вида:

, (5.18)

где – константы.

Из условий симметричности и ортогональности матрицы плана:

(5.19)

Из совместного рассмотрения (5.18) и (5.19) следует:

Поскольку то

Решение этой системы уравнений дает следующие результаты:

(5.20)

Опыт нашей работы по исследованию технологических процессов обработки материалов показал, что варьирования факторов на четырех уровнях и, соответственно, использования математических моделей, в которые факторы входят в первой, во второй и в третьей степенях, бывает достаточно.

Исследована зависимость удельной силы холодного выдавливания стаканов от твердости исходной заготовки из углеродистой стали и рассчитываемой по формуле (5.44) степени ее обжатия (СО) при выдавливании.

В исследовании в результате многофакторного эксперимента строили математическую модель вида:

y₁ = b₀ + b₁HB + b₂ СО + b₁₁HB ² + b₁₂ HB · СО. (7.1)

Матрица плана полного факторного эксперимента приведена в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Матрица плана в натуральном и кодированном масштабах

№ опыта	HB	СО %	x0	x1	x2	z1	x1x2	y (q, МПа)
		44,5 44,5 44,5 56,3 56,3 56,3		-1 -1	-1 -1 -1	-2 -2	-1 -1

В табл. 7.1 видно, что твердость исходной заготовки варьировали на трех уровнях, а степень обжатия (СО) – на двух уровнях. Также видно, какие значения принимали факторы при их варьировании.

В правом столбце табл. 7.1 приведены измеренные в каждом опыте значения удельной силы выдавливания стакана, которая определяется делением силы выдавливания на площадь поперечного сечения пуансона, равную площади поперечного сечения выдавленной полости стакана.

Отметим большую величину удельной силы холодного выдавливания.

Математическая модель в кодированном масштабе имеет следующий вид:

y = b₀+ b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₁z₁ + b₁₂x₁x₂. (7.2)

Формулы перехода от натуральных значений факторов к кодированным и обратно, посчитанные по зависимостям (5.12) и (5.14), следующие:

x₁ = (HB – 135) / 30; x₂ = 10 (СО – 50,4) / 59; z₁ = 3 (x₁² – 2/3). (7.3)

Путем расчета по формуле (5.9) получены следующие оценки коэффициентов модели (7.2): b₀ = 2167; b₁ = 167; b₂ = 67; b₁₁ = 33; b₁₂ = 0.

Указанный ранее каталог В.З. Бродского имеет небольшой объем, и не для всех задач он позволяет подобрать подходящий план дробного факторного эксперимента (ДФЭ). В то же время в этом каталоге содержатся стандартные преобразования факторных планов, с использованием которых исследователь может составить требующийся ему рациональный план ДФЭ.

Преобразованиям подвергаются симметричные факторные планы, в которых факторы варьируются на одинаковом числе уровней. Их преобразовывают в несимметричные планы, в которых факторы варьируются на разном числе уровней.

В рассмотренном ниже исследовании варьируются пять факторов. Влияние первых трех (X₁, X₂, X₃) ожидается линейным, влияние двух остальных – нелинейным. Поэтому первые три фактора варьируются на двух уровнях, два оставшиеся – на трех. Строится следующая модель:

(5.29)

Эта модель содержит восемь членов, коэффициенты перед которыми необходимо определить. Следовательно, число опытов должно быть не менее восьми, например, девять.

Тот план, который соответствует записанной модели и содержит девять опытов, обозначается 2³ х 3² // 9.

Симметричный план ДФЭ приведен в табл. 5.17.

Таблица 5.17

Матрица плана 3⁴ // 9

№ опыта	F0	F1	F2	F3	F4

Из каталога [5, 38] взято следующее преобразование:

Преобразование 1

0 0 0

1 → 0 1

2 1 0

Ψ_r

1а) 3→2² * * 0,67

1б) 3→2 * 0,89

С помощью преобразования 1а фактор F₁ заменен на два двухуровневых фактора F₁' и F₂^', а с помощью преобразования 1б фактор F₂ заменен на F₃':

F₁ F₁'F₂^' F₂ F₃^'

0 0 0 0 0

1 → 0 1 1 → 0

2 1 0 2 1

Факторы F₃ и F₄ оставлены без изменений: F₃ → F₄^' и F₄ → F₅'. В результате получен план 2³ х 3² // 9 (табл. 5.18).

После построения плана оценивают его близость к Q-оптимальному с помощью коэффициента эффективности преобразования Ψ [38]:

(5.30)

где k – число коэффициентов в модели, которую предполагается построить;

n – число преобразований (включая тождественные преобразования, например, F₃ → F₄^' ; F₄ → F₅');

r – номер преобразования;

S_r =(S₁ – 1) + (S₂ – 1) + …, где S_i – число уровней нового фактора, вводимого с помощью r -го преобразования;

Ψ_r – коэффициент эффективности r -го преобразования (указан в каталоге в конце строки каждого преобразования), при тождественном преобразовании Ψ_r = 1.

План Q-оптимален в том случае, когда Ψ = 1.

Таблица 5.18

Преобразование плана 3⁴ // 9 в план 2³ х 3² // 9

Номер опыта	План 34 // 9	План 23 х 32 // 9
F1	F2	F3	F4	F1'	F2'	F3'	F4'	F5'

В рассматриваемом примере k = 8; n = 4; S ₁ = (2 – 1) + (2 – 1) = 2; S ₂ = 2 – 1 = 1; S ₃ =1; S ₄ = 3 – 1 = 2; Ψ₁ = 0,67; Ψ₂ = 0,89; Ψ₃ = 1; Ψ₄ = 1, поэтому

Ψ = 8 / (1 – 4 + 3/0,67 + 2/0,89 + 3/1 + 3/1) = 0,83.

Упоминание о Q-оптимальности планов опережает изложение материала в данном труде. Q-оптимальные планы обеспечивают получение минимальной средней дисперсии предсказания значений выходного параметра в заданной области факторного пространства [38]. Рассмотрение дисперсий будет в следующей главе. На данном этапе изучения материала предлагается использовать формулу (5.30), приняв, что Q -оптимальные планы позволяют определять коэффициенты математических моделей с высокой достоверностью.