Понятие устойчивости системы

Устойчивость систем автоматического управления

Свойства устойчивости проявляются в способности системы возвращаться в первоначальное состоянии или близкое к нему при приложении к системе или снятии воздействия. В связи с этим различают три ситуации: 1) система устойчива; 2) система неустойчива; 3) система "безразличная", нейтральная.

Оценить устойчивость системы можно в результате исследования ее математической модели, то есть решить соответствующую систему дифференциальных уравнений.

Для разомкнутой системы математическая модель в операторной форме:

, или , где - оператор дифференцирования.

Для замкнутой системы:

, или . Если (единичная обратная связь), то .

Рассмотрим замкнутую систему. Если подать на ее вход единичное ступенчатое воздействие , то реакция системы на данный сигнал:

- переходная характеристика системы. n - порядок системы (старшая степень полинома D(p)).

Весовая функция системы: - реакция системы на импульсное воздействие.

Рассмотрим составляющую весовой функции, обусловленную i-м корнем:

.

Пусть (вещественный

корень).

Если , тогда

возрастает, смотри рисунок:

То есть, если хотя бы одно звено "расходящееся", то вся система - неустойчива.

Если , тогда , как

следует из рисунка, асимптотически

убывает:

Если все корни характеристического уравнения вещественные отрицательные: , то система устойчива.

Если хотя бы один

при всех остальных отрицательных

,

то система - "безразличная":

В случае пары комплексных корней, , , соответствующие составляющие весовой функции имеют вид:

Если вещественная часть комплексных корней отрицательна ( ),то система устойчива.

Если - система неустойчива.

Если (чисто мнимые корни) при всех остальных "устойчивых" корнях система "безразличная".

Если все вещественные корни и вещественные части всех комплексных корней характеристического уравнения системы отрицательны, тогда система - устойчива.

Распространение устойчивости на линеаризованные системы. 1892г. Ляпунов А.М.

1. Для устойчивости линеаризованных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы (полюса) были либо отрицательными вещественными, либо имели отрицательные вещественные части. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены высших порядков не сделают систему неустойчивой.

2. Если в линеаризованный системе хотя бы один корень характеристического уравнения будет положительным вещественным, либо иметь положительную вещественную часть, то система будет неустойчива, и никакие отброшенные члены высших порядков не сделают ее устойчивой.

3. Если один или пара корней характеристического уравнения системы находятся на мнимой оси, а остальные корни все левые, то система находится на границе устойчивости. Ее реальная устойчивость целиком определяется отброшенными при линеаризации малыми высших порядков.

Поскольку для установления факта устойчивости системы необходимо знать только знак вещественной части корня, то желательно иметь какие-то критерии, которые бы позволяли определять этот знак без нахождения корней характеристического уравнения, тем более без процедуры решения дифференциального уравнения, соответствующего исследуемой системе.

Критерии устойчивости

Различают алгебраические и частотные критерии.

Алгебраические: критерий Раусса;

критерий Гурвица;

критерий Вышнеградского;

Частотные: критерий Михайлова;

критерий Найквиста;

логарифмический критерий Найквиста.