Сравнение оптимизации в частотной области с оптимизацией методом подбора коэффициентов

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(национальный исследовательский университет)

«МАИ»

Учебная дисциплина

«Основы электротехники и радиоэлектроники»

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Матричный анализ линейных схем

Выполнил:

Студент Никитин Р.А.

Группа: № 4О-208Сцк

Серпухов 2015

ГЛАВА 4 ОПТИМИЗАЦИЯ СХЕМ

Пример 4.8

Матрицу частных производных из примера 4.4 можно полу­чить, вводя источники тока, как это изображено на фиг. 4.15, Из схемы фиг. 4.15 имеем

= , (4.123)

(4.124)

Матрица частных производных строится из числителей выраже­ний (4.123) и (4.124)

,

(4.125)

(4.125)

что аналогично (4.86) при условии Здесь, как и в

примере 4.4, выбор b'₀ не оказывает влияния на итерацию. По­этому можно положить b'₀ = 1, а '₀ вообще опустить. При этом fo (соответствующая коэффициенту при старшем члене) всегда будет равняться нулю. Коэффициенты считаются найденными, когда |f_i|< ε, i = 1, 2, . . n— 1, и на этом итерации заканчи­ваются. В более общем случае, когда положение некоторых по­люсов безразлично, можно после каждой итерации вычислять [уравнение (4.125)] и затем нормировать эту величину делением на т. е.

И в этом случае итерации заканчиваются, когда |f_i|<ε.

При м е р 4.9 .

Активный RС-фильтр, изображенный на фиг. 4.16, в исход­ном состоянии неустойчив (главный полюс в точке s = 0,0169 ± j0,566). Следует изменить элементы схемы таким образом, чтобы главный полюс переместился в точку s = —0,05 + j1. При вычислении импедансов для всех подбираемых элементов была использована программа анализа с помощью уравнений состоя­ния. На фиг. 4.15 в скобках указаны окончательные значения параметров элементов, полученные за шесть итераций, которые заняли 4 сек машинного времени на машине IBM 360-67.

Фиг. 4.16, Схема активного фильтра. В скобках указаны значения парамет­ров элементов после корректировки главных полюсов.

Сравнение оптимизации в частотной области с оптимизацией методом подбора коэффициентов

Напомним, что при проектировании узкополосных схем для получения точных частотных характеристик нужно иметь весь­ма точные значения коэффициентов схемной функции. Частные производные от этих коэффициентов нужно знать еще точнее, так как они используются в ходе итераций при обращении ма­триц. Очевидно, наиболее точно (но зато с большими затратами времени) частные производные получаются при помощи анали­тических (символических) методов. Методами уравнений состояния производные вычисляются гораздо быстрее (но менее точно). Сейчас принято считать на основании опытных данных, что символические методы предпочтительнее при вычислениях с обычной длиной слова (8 значащих цифр), а численные (ма­тричные) методы — при вычислениях с удвоенной точностью. И в том, и в другом случае сложность схемы обычно ограничена 25 элементами и 15 узлами, так как большая часть машинного времени уходит на получение коэффициентов схемной функции и их производных, которые перевычисляются при каждой ите­рации путем обращения матрицы, [s I— А]. (Альтернатива состоит в обращении рациональной матрицы методом, аналогичным из­ложенному в гл. 3.)

Итак, может сложиться впечатление, что оптимизация в ча­стотной области обладает неоспоримыми вычислительными пре­имуществами, так как при помощи методов гл. 3 перевычислить частные производные совсем несложно. Вернемся, однако, к за­даче об оптимизации фильтра с потерями, сформулированной в начале данной главы. Как показано в работе [28], коэффициен­ты знаменателя функции передачи по напряжению V₂(s)/V₁ (s) можно с точностью до константы сделать равными коэффициен­там знаменателя функции передачи идеального фильтра (без потерь), сохраняя заданное соотношение между элементами LC (аналогично тому, как это делается в примере 4.5). Таким образом, удалось подобрать коэффициенты со значительно более высокой точностью, благодаря чему характеристика фильтра оказалась почти идеальной. Превосходство этой характеристики над характеристикой схемы, полученной при оптимизации в ча­стотной области, проявляется в том, что: 1) подбором коэффи­циентов удалось устранить проблему локального минимума, то­гда как полученная при оптимизации в частотной области ха­рактеристика, изображенная на фиг. 4.2, представляет собой как раз локальный минимум для функции ошибки F(х, ω); 2) если даже иногда удается другими методами подобрать F(х, ω), ко­торая не дает локальных минимумов, все же метод подбора ко­эффициентов требует от проектировщика значительно меньше труда и изобретательности при выборе различных функций ошибок.

Резюмируя сказанное здесь и в разд. 4.8.1, можно утвер­ждать, что метод подбора коэффициентов является наиболее подходящим для некоторых классов хорошо обусловленных чис­ленных задач, если в распоряжении проектировщика имеются удобные способы вычисления частных производных (см. [33]).

4.10. Минимизация чувствительности [19]

Лишние степени свободы, возникающие при превышении числа варьируемых параметров элементов над минимально не­обходимым числом таких параметров, можно использовать для оптимизации самих критериев. Очень полезным критерием яв­ляется чувствительность характеристик схемы к изменениям па­раметров элементов. Следуя рассуждениям предыдущего раз­дела, будем осуществлять оптимизацию в s-плоскости, так что речь пойдет о чувствительности собственных частот схемы.

Изменение положения полюса определяется как

(4-127)

где Sk находится из

(4.128)

причем S_k — простой корень. Таким образом, согласно (4.127), чувствительность есть изменение S_k, поделенное на относитель­ное изменение у_j. Поэтому чувствительность является комплекс­ным числом. Как уже говорилось ранее, полиномы, входящие в схемную функцию, являются линейными функциями от каждого элемента, т. е. мы можем написать следующее выражение:

D(s) = D₁(s) + y_jD₂(s). (4.129)

Теперь можно показать (предоставляем это читателю в качестве упражнения), что

(4.130)

Если схема обладает одним главным корнем, тогда можно минимизировать α_ik, β_ik или ( ). Минимизация α_ik делает схему более устойчивой, минимизация β_ik повышает стабиль­ность частоты, минимизация обеспечивает общее умень­шение чувствительности схемы. Мы будем заниматься миними­зацией .

Пусть необходимо получить заданное снижение чувствитель­ности, т. е. = а⁰. Положим

f_i = α_jk — а⁰ (4.131)

тогда f_i — 0 является решением поставленной задачи. Или же уравнение (4.131) можно присоединить к уравнениям метода подбора коэффициентов при условии, что частные производные вычисляются так, как это изложено ниже.

Так как в общем случае D(s) может иметь как главные, так и неглавные корни, то, как и в подразд. 4.8.3, можно написать

D(s) = (b₀ + b_ls+ ... + b_ms^m) (a₀ + a₁s+ ... + a_nsⁿ), (4.132)

D (s) = В(s) A(s), (4.133)

причем корни полинома A(s)—главные. Пусть s_k — главный корень, тогда

D(s) = B(s)A₀(s)(s-s_k). (4.134)

Обозначим

D₀(s) = B(s) A₀(s). (4.135)

Знаменателем является

(4.136)

Дальнейшие выкладки основываются на том, что исходная и конечная схемы имеют одни и те же главные полюса и, значит, один и тот же полином A₀(s_k). Поэтому можно считать A₀(s_k) константой, a D₀(S_k) — функцией только b_i.

Анализируя числитель полинома D₂(s_k), мы видим, что его коэффициенты тоже линейно зависят от значений параметров элементов схемы.

Теперь нетрудно вычислить частные производные _i/ y_m и

(4.137)

(4.138)

Так как D₂(S_k) тоже линейно зависит от у_т, то получение част­ных производных не составляет особого труда.

(4.139)

(4.140)

(4.141)

Пример 4.10

Желательно уменьшить на 20% чувствительность для схемы фиг. 4.13:

Элементы C₁,R₂, Г — переменные; их начальные значения 0,8012; 49,7 и 1,0 соответственно (см. табл. 4.12).

Имея в виду, что полином в знаменателе содержит корень

, его можно записать таким образом:

, (4.143)

(4.144)

или же

(4.145)

Отсюда

(4.146)

В этом случае, поскольку ни g_m, ни С_с не являются переменны­ми, частные производные равны

(4.147)

Далее

(4.148)

И

Последующие итерации отражены в табл. 4.14.

Таблица 4.14

Последовательные итерации в примере 4.10

Номер итерации	С1	L1	R2
	0,8012	1,0000	49,70
	1,3090	0,6747	22,63
	1,2389	0,6961	26,30
	1,2377	0,6961	26,61

Пример 4.11

Схема активного полосового фильтра на фиг. 4.17 отли­чается тем свойством, что все проводимости имеют одинаковый температурный коэффициент, а все β имеют в три раза больший температурный коэффициент. Желательно сделать главный ко­рень нечувствительным к изменениям всех β и проводимостей.

30.6

(54)

Фиг. 4.17. Схема активного фильтра. В скобках указаны значения парамет­ров элементов после минимизации чувствительности.

Фиг. 4.18. Влияние минимизации чувствительности на частотную характери­стику.

А — исходная схема (Q = 19,7); Б — схема с минимизированной чувстви­тельностью после изменения проводимостей на 5% и β на 15% по сравнению с расчетными (Q == 28,4); В—схема с минимизированной чувствительностью при расчетных значениях элементов (Q — 30,6).

Легко показать, что в любой схеме сумма чувствительностей всех проводимостей для одного и того же корня равна самому корню. В данной схеме, имеющей главный корень s₁ = —0,0081 + j0,5,

Так как β изменяются с температурой в три раза быстрее про­водимостей, то, учитывая противоположный знак этого изме­нения,

Но так как ,

,

То

На фиг. 4.17 указаны начальные и конечные (в скобках) значе­ния параметров элементов. Вычисления заняли 2,5 мин. Гра­фики, показывающие влияние одновременного изменения всех β и проводимостей, приведены на фиг. 4.18.

4.11. Метод непрерывного преобразования схем с сохранением эквивалентности [18,31]

В качестве заключения в данной главе рассмотрим один ме­тод машинного проектирования схем, который, хотя и выглядит несколько академически по сравнению с мощными итерацион­ными методами, изложенными ранее, все же может служить од­ним из примеров нетрадиционного подхода к решению классиче­ских задач с помощью современных вычислительных машин.

Пусть заданы: схемная функция T(s), которая должна быть синтезирована, и начальная реализация схемы N₁. Требуется найти другую схему, эквивалентную N₁, но с другими значе­ниями параметров элементов или, может быть, имеющую струк­туру, отличающуюся от N₁. Например, если схемная функция имеет вид

(4.150)

тогда любая схема N₂ реализующая функцию

, (4,151)

эквивалентна N₁ с точностью до коэффициента усиления.

Один способ получения класса схем, содержащего N₂, состоит в том, что коэффициенты а₁ берутся из множества решений

дифференциального уравнения

(4.152)

Так как

(4.153)

то очевидно, что b₀= exp kx. Здесь без потери общности можно положить k=1.

Значение уравнения (4.152) состоит в том, что любое а_i мож­но записать как функцию адмиттансов элементов y_j. Раскрывая уравнение (4.152), имеем

(4.154)

Или можно написать матричное дифференциальное уравнение

При m = n, если уравнения независимы, с помощью обращения матрицы можно найти единственные решений для .

П р и м е р 4.12

Фильтр, изображенный на фиг. 4.11, имеет функцию пере­дачи по напряжению (с учетом сопротивления источника R₁)

Необходимо при G₂=const и увеличении R_i сохранить функцию передачи неизменной.

Уравнения (4.152) записываются в данном случае в таком виде:

Или в матричной записи

Переходя к обычной форме записи, получаем

(4.155)

Эти уравнения можно проинтегрировать методами численного анализа, взяв исходные значения параметров элементов схемы фильтра в качестве начальных.

Указанную методику вряд ли можно рекомендовать для боль­ших схем, поскольку при численном интегрировании нужно брать малый шаг, чтобы поддерживать точность элементов в разумных границах. Поэтому почти всегда предпочитают использовать ме­тод подбора коэффициентов. Тем не менее идея введения пара­метров сама по себе является полезной.

Заключение

Укажем некоторые направления современных исследований в области машинного проектирования радиоэлектронных схем:

1. Методы чебышевской аппроксимации частотных и времен­ных характеристик [30, 32]. Предложенные до настоящего времени методы подобного типа являются либо узко специализи­рованными, либо имеют сравнительно малые области сходимости или склонны приводить к локальному минимуму. Однако досто­инства методов чебышевской аппроксимации вполне заслужи­вают дальнейших исследований в этом направлении.

2. Оптимизация (нелинейных) переключательных и импульс­ных схем [30].

3. Автоматическая трансформация и модификация топологии схемы: исключение, замена и введение новых элементов [13, 30, 31]. Автоматический синтез топологии схемы из схем холо­стого хода и схем короткого замыкания.

ЗАДАЧИ

4.1. Показать, что в методе наискорейшего спуска направление, опреде­ленное на i-й итерации, ортогонально направлению, определенному на

(i— 1) -й итерации, если â^i-1 вычислено точно.

4.2. Флегчер и Поуэлл показывают, что их метод обеспечивает сходи­мость к А^-1 в том случае, когда минимизируемая функция квадратичная, до­казывая, что вектор x_j является линейно независимым от предыдущих (j — 1) векторов. Почему из этого следует сходимость к А^-1?

4.3. Разложение в ряд Тейлора с остаточным членом для функции n пере­менных имеет следующий вид:

,

где х = x — , — точка глобального минимума, £ лежит на отрезке х +/Ах (О^/s^l). Доказать, что если является локальным минимумом, тогда гессиан не может быть положительно определенной матрицей на всем отрезке.

4.4. Плохую обусловленность в задачах, где функция F имеет эллипсоподобные линии постоянного уровня (как на фиг. 4.4а), можно устранить, реа­лизуя итерации не по х_i, а по log х_i . Показать на примере, как это делается.

4.5. Дополнить математическое условие унимодальности так, чтобы оно годилось для n-мерного пространства. Изобразите чашеобразный участок по­верхности, который удовлетворяет условию унимодальности, но не является выпуклым.

4.6. Можно показать, что в методе поиска с помощью чисел Фибоначчи

начальные интервалы стремятся к пределу Если выбрать в качестве начальных эти интервалы, то какими выражениями опи­сываются длины интервалов при последующих итерациях? Почему этот метод менее эффективен, чем изложенный в подразд. 4.4.3?

4.7. Показать, что в методе подбора коэффициентов должно выполняться следующее обязательное условие: число варьируемых элементов должно быть Не меньще числа полюсов, которые хотят сохранить на том же месте.

4,8, Высокочастотная малосигнальная модель транзистора, изображен­ная на схеме 34.1, содержит элементы у, которые зависят от тока смещения эмиттера. В частности, , (ток I_е в миллиамперах). Мы хотим компенсировать изменения, вызываемые током эмиттера, путем варьирования параметра одного или нескольких элементов. Если требуется сохра­нить два главных полюса, то сколько элементов нужно сделать варьируемыми, чтобы матрица частных производных была квадратной? Найти эту матрицу.

4.9. Пусть ограничение на элемент G выражается неравенством . Подобрать а₁ и в выражении

так, чтобы неравенство для G выполнялось в случае х, изменяющейся в интер­вале [0, . Найти схему, реализующую G, в которой каждая проводимость

Фиг. 34.1. Полосовой усилитель.

либо постоянна, либо имеет вид G_ix. Обратите внимание на то, что для итеративная схема, приведенная в подразд. 4.8.4.2, гарантирует, что G будет ограниченной величиной.

4.10 Минимизировать функцию F(x) при ограничениях

с помощью метода, изложенного в подразд. 4.7.2, положив

где r_k<r_k-1 . Пусть обозначает ту величину , при которой P(x,r_k) достигает минимума. Показать, что F( ^k+1) <F( ^k) и . (Не обязательно требовать, чтобы функции F и G_j были выпуклой и вогнутой соответ­ственно.) Если итерации начинаются вблизи от границы G_j =0, а минимум достигается далеко от границы, то каким образом сумма может убы­вать, как это требуется?

4.11.В этой главе рассмотрен метод вычисления производных от коэффи­циентов полинома который в общем случае является знаменателем не­которой схемной функции. Попытайтесь развить аналогичный метод вычисле­ний производных от коэффициентов полинома в числителе, исходя из мето­дики измерений параметров n-полюсника, аналогичной методике, отраженной на фиг. 4.15 (Указание: используйте методы вычисления частных произ­водных в частотной и временной областях, изложенные в гл. 3.) Разработайте способ рекурсивного вычисления производных от коэффициентов при помощи методов пространства состояний. (Указание: примените метод разбиений или методы теории n-полюсников, рассмотренные в гл. 1 применительно к анализу нелинейных цепей.) Следует отдельно рассматривать случаи резистивных и реактивных элементов.

4.12. Метод подбора коэффициентов имеет тесную связь с методом под­бора корней [28]. Пусть — заданный (комплексный) корень; положим

F_i=r_i - (i=1, 2, …, m), тогда f_i = 0 является искомым решением. Пусть n-степень рассматриваемого полинома. Найти связь между двумя методами: а) при m =n; б) при т<n (случай главных и неглавных корней). Коэффи­циенты, естественно, подбираются с точностью до постоянного множителя. Используйте материал данной главы по чувствительности корней.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kuhn Н. W., Now-Linear Programming, Proc. Second Symposium on Mat­hematical Statistics and Probability, Univ. of California Press, Berkeley, 1951.

2. Linvi 11 J. G., Network Alignment Techniques, Proc. IRE, 41, 290—293 (February 1953).

3. Aaron M. R., The Use of Least Squares in System Design, IRE Trans, on Circuit Theory, CT3, 224—231 (December 1956).

4. Arrow K. J-, Hurwicz L., Uzawa H., Studies in Linear and Non- Linear Programming, Stanford Univ. Press, 1958.

5. D e n n i s J. В., Mathematical Programming and Electrical Networks, MIT Press, 1959; см. русский перевод: Деннис Дж. Б., Математическое про­граммирование и электрические цепи, ИЛ, 1961.

6. Desoer С. A., Mitra S. К., Design of Lossy Ladder Filters by Digi­tal Computer, IRE Trans, on Circuit Theory, CT8, 192—201 (September 1961).

7. Carrol, C. W., The Created Response Surface Technique for Optimizing Non-Linear Constrained Systems, Opns. Res., 9, 169—184 (1961).

8. Spang H. A., A Review of Minimization Techniques for Non-Linear Func­tions, SI AM Review, 4, 343—365 (1962).

9. Fletcher R., Powell M. J. D., A Rapidly Convergent Descent Method for Minimization, The British Computer Journal, 6, 163—168 (1963).

10. Rice J. R., The Approximation of Functions^ Addison — Wesley, 1963.

11. Werner H., Rationale Tschebyscheff — Approximation, Eigenwerttheo- rie, und Differenzenrechnung, Arch. Rat. Mech. Anal., 13, 330—337 (1963).

12. Fiacco A. V., M с С о r m i с k G. P., The Sequential Unconstrained Tech­nique for Non-Linear Programming, Algorithm II, Optimum Gradients by Fibronacci Search, Research Analysis Corp. Report RAC-TP-123, June 1964.

13. Calahan D. A., Computer Solution of the Network Realization Problem, Proc. Second Allerton Conference, Univ. of Illinois, pp. 175—200, 1964.

14. Fiacco A. W., McCormick G. P., The Sequential Unconstrained Mini­mization for Nonlinear Programming, A Primal — Dual Method, Manage­ment Service, 10, 360—366 (1964).

15. Murata Т., The Use of Adaptive Constrained Descent in Systems Design, IEEE International Conv. Rec., Part 1, 296—306 (1964).

16. P о w e l l M. J. D., An Efficient Method for Finding the Minimum of a Function of Several Variables Without Calculating Derivatives, The Bri­tish Computer Journal, 155—162 (1964).

17. Fiacco А. V., McCormick G. P., The Sequential Unconstrained Mi­nimization Techniques for Convex Programming with Equality Constraints, Research Analysis Corp. Report RAC-TP-155 (April 1965).

18*. Calahan D. A., Computer Design of Linear Frequency Selective Net­works, Proc. IEEE, 53, 1701—1706 (November 1965).

19. Calahan D. A., A Numerical Algorithm for the Minimization of Sensi­tivity, Proc. Third Allerton Conference, 394—406 (1965).

20. P о w e l l M. J. D., A Method for Minimizing a Sum of Squares of Nonli­near Functions Without Calculating Derivatives, British Computer Journal, 7, 303—307 (1965).

21. Scheibe P. O., Huber E. A., The Application of Carroll's Optimiza­tion Technique to Network Synthesis, Third Allerton Conference, 182—191 (1965).

22.Temes G. C., Bingham J. A. C., Iterative Chebyshev Approximation Technique for Equalizer Synthesis, Proc. Third Allerton Conference, Univ. of Illinois, 773—785 (1965).

23.War en A. D., L a s d о n L. S., Practical Filter Design Using Mathema­tical Optimization, Proc. Third Allerton Conference, Univ. of Illinois, 677— 689 (1965).

24. L a s d о n L. S., Waren A. D., Optimal Design of Filters with Bounded, Lossy Elements, Trans. IEEE, CT13, 175—187 (June 1966).

25.Athanassopoulos I. A., S с h о e f f 1 e r J. D., Waren A. D., Ti­me-Domain Synthesis by Nonlinear Programming, Fourth Allerton Confe­rence, 766—775 (1966).

26.W i l d e D. J., В e i g h 11 e r C. S., Foundations of Optimization, Prentice- Hall, 1967.

27.Lovi A., Vogl T. P., Recent Advances in Optimization Techniques, Wi­ley, 1966.

28*. Temes G. С., С a 1 a h a n D. A., Computer Aided Network Optimization— The State of the Art. Proc. IEEE (November 1967).

29. Gaash A. A., P e p p e r R. S., P e d e r s о n D. O., Design of Integrable Desinsitized Frequency Selective Amplifiers, /. of Solid State Cir. № 1, 29— 34 (December 1966).

30*. См. другие статьи в журнале Proc. IEEE, November, 1967.

31.Schoeffler J. D., The Synthesis of Minimum Sensitivity Networks, Trans IEEE, CT11, 271—288 (June 1964).

32.Temes G. C., Gyi M., Design of Filters with Arbitrary Passband and Chebyshev Stopband Attenuation, IEEE Conv. Record, 15, 5, 2—12 (March 1967).

33. H a m 111 о n A. W., The Use of Computers in the Design of Color Tele­vision Receivers. Trans. IEEE on Broadcast and Television Receivers 34—39 (July 1967).

ГЛАВА 5