Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Пермский институт (филиал) ГОУ ВПО

«Российский государственный торгово-экономический университет»

Кафедра информационных технологий и математики

к.т.н., доцент Вшивков Олег Юрьевич

Математический анализ

Методические указания

и контрольные задания для студентов

заочной формы обучения всех специальностей

и направлений

(1-й семестр)

Пермь 2015 г.

Организационно-методические рекомендации

Правила оформления и зачета контрольных работ

1) Контрольные работы должны быть оформлены в соответствии с настоящими правилами. Работы, выполненные без соблюдения этихправил, не засчитываются и возвращаютсястуденту для переработки.

2) Каждую контрольную работу следует выполнить в отдельной тетради, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

3) На обложке тетради должны быть разборчиво написаны фамилия, имя и отчество студента, факультет (институт), номер группы, название дисциплины (математический анализ), номер контрольной работы, номер варианта и домашний адрес студента. В конце работы следует поставить датy ее выполнения и расписаться.

4) Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки.

5) Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач следует переписать в тетрадь.

6) При решении задач нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса.

ü Решение задач и примеров следует излагать подробно, объясняя все выполненные действия и используемые формулы. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа π, е и т. д.

ü Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи. Так, например, вычислив неопределенный интеграл, нужно проверить, равна ли подынтегральная функция производной от полученной первообразной. Полезно также, если это возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

7) Студенты обязаны сдавать письменные контрольные работы не позднее, чем за 10 дней до начала экзаменационной сессии. В противном случае они не будут допущены к зачетам и экзаменам.

8) После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые рецензентом изменения или дополнения и прислать работу для повторной проверки. В связи с этим рекомендуем при выполнении контрольной работы оставить в конце тетради несколько чистых листов для внесения исправлений и дополнений.

ü В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

ü При представленных на повторную проверку исправлениях обязательно должны находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

РАЗДЕЛ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 1. Предел и непрерывность функции

§ 1. Множество действительных чисел. Понятие функции. Способы задания функций. Элементарные функции. Простейшие неэлементарные функции.

Литература: [1, гл.5], [2, гл.VI], [3, гл.V], [4, §1.1-1.2, стр.5-9], [5, гл.V, §1], [7, гл.1, гл.4, §1].

Упражнения: [5, упр.679, 700], [6, упр.1.1. 1), 2), 5) - 7), 1.2. 1)-3)], [7, гл.4, упр.73, 75, 83, 99, 139, 191].

§ 2. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Два замечательных предела.

Литература:[1, гл.6, §4-10], [2, гл.VII, §1-13], [3, гл.VI, §24-28], [4, §1.2-1.6, стр.9-19], [5, гл.V, §2-7, 10], [7, гл.4, §2].

Упражнения:[5, упр.730, 734, 736, 742, 743, 763, 770, 779, 782 -785], [6, упр.1.20-1.25, 136-139, 146-149], [7, гл.4, упр.228, 234-241, 264-267, 289].

§ 3. Приращение функции. Возрастание и убывание функции. Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства непрерывных функций.

Литература: [1, гл.6, §1-3], [2, гл.VIII], [3, гл.VI, §29], [4, §1.7, стр.19-24], [5, гл.V, §8], [7, гл.4, §2]

Упражнения: [5, упр.814-816], [6, упр.1.72, 1.81, 1.83, 1.86], [7, гл.4, упр.225-226].

Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§ 1. Определение производной. Дифференцируемость и непрерывность функций. Геометрический, физический и экономический смысл производной. Свойства производной. Правила дифференцирования (включая производные сложной и обратной функции).

Литература: [1, гл.7], [2, гл.IX, X], [3, гл.VII, §30-37], [4, §1.8, 1.11, стр.25-27, 30-40], [5, гл.VI, §1, 2 ,4-6, 8-10; гл.VII, §1], [7, гл.5, §1, 2];

Упражнения: [5, упр.850, 852-854, 874-877, 937-939, 980-985, 1090-1092], [6, упр.2.1, 2.2, 2.7-2.17, 2.21-2.24, 2.76-2.79, 2.111, 2.112, 2.231, 2.232], [7, гл.5, упр.1, 11-13, 25-30, 33-36, 45-50, 136, 137].

§ 2. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

Литература: [1, гл.9, §1], [2, гл.XI, упр.1, 2, 5], [3, гл.VIII, §40,41], [4, §1.13, 1.14., стр.41-45], [5, гл.VII, §2,3], [7, гл.5, §6].

Упражнения: [5, упр.1101-1107, 1122-1134], [6, упр.2.162-2.164, 2.166-2.168, 2.171, 2.173-2.183], [7, гл.5,§6, упр.225-234, 241, 244, 246, 260].

§ 3. Дифференциал функции, его связь с производной. Геометрический смысл дифференциала и его использование в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.

Литература: [1, гл.8], [2, гл.XII], [3, гл.VII, §38], [4, §1.9, 1.12, 1.14, стр. 27-30, 39-40, 55-56], [5, гл.VI, §11] [7, гл.5, §3, 4].

Упражнения: [5, упр.1064, 1070, 3071, 1021, 1022], [6, упр.2.122-2.124, 2.134-2.137, 2.146, 2.147, 2.156], [7, гл.5, упр.146, 160, 161, 163-167, 174, 175, 179, 198, 199].

§ 4. Исследование функций с помощью дифференциального исчисления. Условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Литература: [1, гл.9, §2-5], [2, гл.XI,§2, упр.3-5, §7, упр.6-14], [3, гл.VII, §42-44], [4, §1.14.2, стр.46-55], [5, гл.VII, §4, 5], [7, гл.5, §7].

Упражнения: [5, упр.1158, 1160-1162, 1176], [6, упр.2.203], [7, гл.5, упр.282].

§ 5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба и их нахождение. Асимптоты. Общая схема исследования функции.

Литература: [1, гл.9, §6-8], [2, гл.XI, §8, 10, упр.15-27], [3, гл.VII, §45, 46], [5, гл.VII, §6; гл.V, §9], [7, гл.5, §7].

Упражнения: [6, упр.2,204-2.207, 2.224-2.226, 2.233, 2.234], [7, гл.5, упр.297-300, 324-327].

§ 6. Формулы Тейлора и Маклорена. Примеры разложения элементарных функций по формуле Маклорена.

Литература: [4, §1.4.14, стр. 56-57], [7, гл.5, §6].

Упражнения: [7, гл.5, упр.269-271].