Математические модели динамических объектов

Моделирование динамического объекта начинается с уста­новления его типа: стационарной или нестационарной, линей­ный или нелинейный.

Линейные стационарные объекты описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффици­ентами. Если коэффициенты линейных дифференциальных уравнений являются функциями независимых переменных, то объект относится к классу линейных нестационарных.

Нелинейные стационарные объекты описываются линей­ными уравнениями с постоянными коэффициентами, а нели­нейные нестационарные — нелинейными уравнениями с пере­менными коэффициентами.

В изучаемом курсе рассматриваются модели линейных объектов.

Аналитическое представление модели динамического объ­екта в виде дифференциального уравнения не является един­ственно возможным. Для систем автоматического регулиро­вания принято представление модели в виде типовых линей­ных и нелинейных звеньев и их передаточных функций.

Примером линейного стационарного динамического объ­екта является электрическая цепь, содержащая активные и реактивные элементы, (рисунок 1).

Рисунок 1 – Схема электрической цепи

Переходный процесс при замыкании ключа в такой цепи описывается дифференциальным уравнением

, (8)

в котором i и Е являются функциями времени, а параметры цепи L и R — постоянными коэффициентами.

В качестве другого примера рассмотрим движение меха­низма, имеющего приведенный момент инерции I и момент нагрузки М_нагр, в общем случае переменный. Механизм при­водится в движение моментом двигателя М, (рисунок 2)

Рисунок 2- Расчётная схема механизма

Изменение угловой скорости механизма w описывается дифференциальными уравнениями, называемыми уравнения­ми движения

Математическими моделями объектов в приведенных при­мерах являются дифференциальные уравнения первого по­рядка. Такие уравнения имеют семейства решений. Чтобы выбрать одно решение из многих, необходимо знать началь­ное значение функции, то есть ее значение в начальный мо­мент времени.

В общем виде можно записать

y¢ = ¦ (y, t)

y (t₀) = y₀. (10)

Задача определения значений у для будущих значений t>t₀ называется задачей Коши.

Вопросы для самопроверки

1. Какие динамические объекты относятся к линейным?

2. Какие динамические объекты относятся к стационар­ным?

3. Приведите математическую формулировку задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.?

4. Приведите примеры использования дифференциальных уравнений в профессиональной деятельности?

Численные методы решения обыкновенных

дифференциальных уравнений

Лишь очень немногие дифференциальные уравнения мо­гут быть решены точно, аналитическими методами, и поэтому обычно необходимо приближать решение численными мето­дами.

Пусть требуется найти приближенное решение дифферен­циального уравнения y¢ = ¦ (y, t), удовлетворяющее начально­му условию y (t₀) = y_0. Численное решение задачи состоит в нахождении значений y₁, y₂, …y_n функции (y(t) в точках t₁, t₂, ...t_n). Точки t₁, t₂, ...t_n называют узлами сетки, а расстояние между ними — шагом. Часто решение выполняют с постоянным шагом, тогда

t₁ = t₀ + ih, (11)

где i = 1, 2, ... n,

h — шаг сетки.

Рассмотрим два метода. Одношаговым называется метод, в котором для расчетов следующей точки требуется инфор­мация только о последней вычислительной точке. Первый из рассматриваемых методов — метод Эйлера.

В методе Эйлера каждое следующее значение функции вычисляется по предыдущему по формуле:

y_i+1 = y_i + hצ( y_i, t_i), i = 1, 2, ... n, (12)

Фрагмент программы на языке Бейсик, реализующий ме­тод Эйлера приведен в приложении Б.

Другим распространенным одношаговым методом явля­ется метод Рунге-Кутта. В этом методе величину y_i+1 вы­числяют по следующим формулам:

y_i+1 = y_i + hצ( y_i, t_i), i = 1, 2, ... n,

(13)

где k₁ = ¦( y_i, t_i); k₂ = ¦( y_i + , t_i + );

k₃ = ¦( y_i + , t_i + );

k₄ = ¦( y_i + h k₃, t_i + h);

Для оценки погрешности метода часто используют пра­вило Рунге. Для этого проводят вычисления с шагом h и c шагом h/2. Если полученные значения отличаются в преде­лах допустимой погрешности, то шаг удваивают, в против­ном случае берут половинный шаг.

Фрагмент программы на языке Бейсик, реализующий ме­тод Рунге-Кутта, приведен в приложении Б.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется сеткой и шагом метода?

2. Какие методы называются одношаговыми?

3. Приведите расчетную формулу метода Эйлера. Сколько вычислений приходится на одном шаге?

4. Приведите расчетные формулы метода Рунге-Кутта. Сколько вычислений производится на одном шаге?

5. Как оценить погрешность решения?