Построение двойственной задачи
ЛИНЕЙНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(для бакалавров 1-го курса
очной формы обучения)
Часть II
Ростов-на-Дону
УДК 517(07)
Линейное программирование (для бакалавров 1-го курса очной формы обучения). Часть II. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 24 с.
Изложены двойственная задача ЛП и ее решение, транспортная задача ЛП и ее решение, особенности решения транспортных задач с неправильным балансом. Приведён образец индивидуального задания, снабжённый подробным решением входящих в него задач.
Предназначены для бакалавров 1-го курса очной формы обучения специальностей ОБД, АС дорожно-транспортного института, а также для бакалавров экономических специальностей.
Электронная версия методических указаний находится в библиотеке, ауд. 224.
УДК 517(07)
Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. М. М. Цвиль
канд. физ.-мат. наук, доц.
В. В. Шамраева
ассист. И. В. Цветкова
ассист. В. В. Новиков
Рецензент: канд. физ.-мат.наук, доц. Г.А. Можаев
Редактор Т.М. Климчук
Доп. план 2011 г., поз. 183
Подписано в печать 12.07.11. Формат 60´84/16. Бумага писчая. Ризограф.
Уч.-изд.л. 1,8. Тираж 20 экз. Заказ 385
Редакционно-издательский центр
Ростовского государственного строительного университета
344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162
Ó Ростовский государственный
строительный университет, 2011
Теория двойственности
Построение двойственной задачи
Любой задаче ЛП (исходной) можно поставить в соответствие другую, которая называется двойственнойили сопряжённой.Они образуют пару двойственных ( или сопряжённых ) задач ЛП .
Составим двойственную к задаче использования сырья (1.2.1).
Имеется 
видов сырья в количестве 
, которые используются для изготовления 
видов продукции. Известно: 
– расход 
-го вида сырья на единицу 
-й продукции; 
прибыль от реализации единицы -го вида продукции. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль. Математическая модель данной задачи имеет вид (в матричной форме):
;
;
. (6.1.1)
Здесь 
, 
объём производства -го вида продукции.
Предположим, что второй потребитель хочет перекупить сырьё. Составим двойственную задачу, решение которой позволит определить условия продажи сырья. Введём вектор оценок (цен) видов сырья 
. Тогда затраты на приобретение сырья в количестве 
равны 
. Второму
производителю выгодно минимизировать суммарные затраты на приобретение всех видов сырья, поэтому целевая функция имеет вид
.
Первому производителю невыгодно продавать сырьё, если суммарная стоимость всех видов сырья, расходуемых на каждое изделие -й продукции меньше прибыли 
, получаемой при реализации этого изделия, т.е.
, 
.
В матричной форме задача имеет следующий вид:
;
;
. (6.1.2)
Таким образом, связь между исходной и двойственной задачами состоит в том, что коэффициенты целевой функции исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, свободные члены системы ограничений исходной задачи служат коэффициентами целевой функции двойственной задачи, а матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи.
В теории двойственности используются 4 пары двойственных задач:
| Исходная задача | Двойственная задача |
| Симметричные пары | |
1.   | 1.    |
2.   | 2.   |
| Несимметричные пары | |
3.  | 3.  |
| 4. | 4. , |
где
С = (c1, c2, …, cn); Y = (y1, y2, …, ym);
; 
; 
.