Задания на контрольную работу № 1

МАТЕМАТИКА

Часть 1

Методические указания по изучению дисциплины для студентов МИППС заочной формы обучения направлений подготовки 100100.62 и 260100.62

Краснодар

Составители:доц. канд. физ.-мат. наук Терещенко И.В.;

ст.препод. Иващенко Н.Г.;

ст.препод. Лисянская В.Н.

УДК 517

Математика. Часть 1 метод. указания по изучению дисциплины для студентов МИППС заочной формы обучения направлений подготовки 100100.62 и 260100.62 /Сост.: И.В. Терещенко, Н.Г. Иващенко, В.Н. Лисянская; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. Общей математики. – Краснодар: Изд. КубГТУ, 2014. – 20 с.

Изложена программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету, рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольной работы.

Ил. 1. Библиогр.: 6 назв.

Печатается по решению методического совета Кубанского государ­ственного технологического университета

Рецензенты: канд. техн. наук, доц. кафедры ОМ КубГТУ А.В. Братчиков;

д-р. техн. наук, проф. кафедры ТЖКиЭТ КубГТУ

Е.О. Герасименко

ã КубГТУ, 2014

Содержание

1. Инструкция по работе с методическими указаниями……..…………
2 . Программа дисциплины …………..……………………………...……
4 . Темы практических занятий ………………………………………….
5. Содержание и оформление контрольных работ …….………..………
6. Вопросы для подготовки к зачету …………...……………………….
7. Задания на контрольную работу № 1……………….………..…….….
Список рекомендуемой литературы………………………………….….

Инструкция по работе с методическими указаниями

В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литера­туры с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.

Пример

Литература: [2, гл. 2, c. 3–9], [4, c. 143–162],

где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка реко­мендуемой литературы.

Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 ва­рианту в контрольном задании.

Программа дисциплины

Тема 1. Элементы линейной и векторной алгебры

Определители второго и третьего порядков, их свойства, вычисление. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Понятие вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты. Некоторые приложения. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения. Смешанное произведение векторов и его свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного произведения через координаты. Некоторые приложения.

Литература: [3, c. 123–129, 153–165], [4, c. 259–268, 223–239],

Тема 2.Элементы аналитической геометрии.

Прямая на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Литература: [2, с. 15–23], [4, гл. 3 c. 43–49, гл. 9 с. 244–252].

Тема 3. Введение в математический анализ.

Понятие функции. Предел функции. Односторонние пределы. Предел функции при . Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательный пределы. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва и их классификация.

Литература: [1, гл. 2 § 2–11], [4, гл. 4 § 2–9].

Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная функции. Приложения производной. Правило Лопиталя. Условия монотонности функций. Необходимое и достаточное условия экстремума. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты. Общая схема исследования функции.

Литература:[1, гл. 3 § 2–16, гл. 5 § 2–11], [4, гл. 5 § 1–7, гл.6 § 2, 4], [2, гл. 7 § 1,2].

Темы практических занятий

1. Элементы линейной и векторной алгебры.

2. Элементы аналитической геометрии.

3. Введение в математический анализ.

4. Дифференциальное исчисление.

5.Неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования.

Содержание и оформление контрольных работ

1. Требования к оформлению контрольных работ: контрольные работы выполняются в тетради (12 л.), на об­ложке необходимо указать номер контрольной работы, свой факультет, специальность, шифр зачетной книжки, номер варианта, свою фамилию, имя, отчество.

2. Требования к выполнению контрольной работы:

- при выполнении работы необходимо приводить основные теорети­ческие моменты, промежуточные математические доказательства, мето­дики, формулы, расчеты.

Задание № 1.По координатам вершины пирамиды А₁А₂А₃А₄ найти:

1. длину ребра А₁А₂; А₁А₃;

2. угол между ребрами и ;

3. площадь грани ;

4. объем пирамиды ;

5. уравнение прямой

6. уравнения плоскости

Решение:

1. Если заданы точки , , и , то координаты векторов , и их длины , равны:

а) ,

.

б) ,

.

2. Угол между ребрами и находим как угол между векторами и . Из определения скалярного произведения следует, что этот угол вычисляется по формуле

.

Скалярное произведение находим через декартовы координаты:

.

Тогда

.

Откуда (вычисления проводим на инженерном калькуляторе)

.

3. - площадь треугольника, построенного на векторах и . Зная их декартовы координаты, находим векторное произведение

,

, , .

Тогда

.

4. Учитывая геометрический смысл смешанного произведения векторов, получим формулу для вычисления объема пирамиды:

.

Найдем координаты вектора :

.

Смешанное произведение этих векторов найдем через их декартовы координаты

.

Отсюда .

5. Найдем канонические уравнение прямой За направляющие вектора примем вектор За точку, лежащую на этих векторах, примем точку :

прямая : ;

6. Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , находится по формуле

.

Составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

или .

Разложив определить по первой строке, получим

Отсюда получаем уравнение плоскости . Коэффици­енты уравнения образуют координаты нормального вектора .

Задание 2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвест­ными. Требуется найти ее решение с помощью формул Крамера.

Решение:

Решим заданную систему с помощью формул Крамера.

По формулам Крамера

Находим решение системы

Ответ:

Задание 3.Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами диф­ференциального исчисления.

Решение:

а)

б) .

.

в) . (При )

г)

Выполнив преобразования и применив формулу , най­дём

.

Задание 4. Найти производные первого порядка данных функций.

1) , 2) ,

3) , 4)

Решение:

1) .

2) .

3) .

4)

Дифференцирование данных функций производится по правилу: .

Задание 5. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

, .

Решение:

Уравнение касательной имеет вид:

Находим .

Находим производную функции и вычисляем ее значение при :

.

.

Тогда уравнение касательной:

Уравнение нормали

; .

Задание 7. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.

;

Решение.

По правилу Лопиталя:

Ответ: .

Задание 8. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график.

.

Решение:

1. .

2. Функция не определена в точке . Следовательно, есть точка разрыва функции. Исследуем характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы функции в этой точке:

Следовательно, – точка разрыва второго рода;

3. .

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.

4. Точка – точка пересечения с осью Ох.

Точка – точка пересечения с осью Оy.

Находим производную.

при и не существует при .

Критическая точка: .

- + -

0 1

Функция убывает на интервалах ; возрастает – на интервале .

5. Находим вторую производную.

при и не существует при .

Критическая точка второго рода: .

- +

-0,5

Функция вогнута на интервалах , функция выпукла на интервале .

Точка перегиба , .

6. Так как точка - точка разрыва второго рода, то прямая - вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты

Тогда - горизонтальная асимптота

7. По полученным данным строим график функции

Задание 8. Найти неопределенные интегралы.

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) .

Применим подстановку . Тогда ,

откуда .

Таким образом, .

б) .

Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

.

При : .

При : .

Итак:

в) .

Применим формулу интегрирования по частям . Пусть

, , тогда , .

Тогда

Вопросы для подготовки к зачету (экзамену)

1. Матрицы, действия над матрицами, обратная матрица.

2. Определители и их вычисление.

3. Системы линейных уравнений. Матричный метод.

4. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

5. Векторы, основные понятия. Линейные операции над векторами.

6. Скалярное произведение векторов, основные свойства.

7. Приложения скалярного произведения.

8. Векторное произведение, основные свойства.

9. Приложения векторного произведения.

10. Смешанное произведение, основные свойства.

11. Приложения смешанного произведения.

12. Плоскость и прямая в пространстве.

13. Различные способы задания прямой и плоскости в пространстве.

14. Взаимное расположение плоскостей.

15. Взаимное расположение прямых в пространстве.

16. Взаимное расположение прямой и плоскости.

17. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

18. Предел функции.1-й и 2-й замечательные пределы.

19. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

20. Сравнение бесконечно малых функций, порядок малости, эквивалентные бесконечно малые функции.

21. Непрерывность функции в точке, арифметические действия над непрерывными функциями.

22. Определение и классификация точек разрыва.

23. Производная функции. Физический смысл производной.

24. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

25. Производная сложной и обратной функций.

26. Таблица производных.

27. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

28. Исследование функций при помощи производной.

29. Исследование функций с помощью производной

30. Неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования.

Задания на контрольную работу № 1

Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды (А₁А₂А₃А₄)

Найти: 1. Cosά угла между ребрами A₁A₂ и А₁А_3;

2.Найти площадь грани (А₁А₂А₃);

3. Найти объем пирамиды;

4. Уравнения прямой (А₁А₂);

5. Уравнения плоскости (А₁А₂А₃).

1. A1 ( 6, -7, -3 ); A2 ( -2, 9 ,-6); A3 ( 4, 8, -4 ); A4 (6, -9, -7 ).

2. A1 ( 7, -6, -1 ); A2 ( -4, 5, 1 ); A3 ( -7, 7, 1 ); A4 ( -5,-1,-1 ).

3. A1 ( 2, 7, 3 ) ; A2 ( 6, 1, -4 ) ; A3 ( -7, 1, -4 ); A4 ( 5, 4, -2 ).

4. A1 ( 9, -3, 2 ); A2 ( -4,-5, -3 ); A3 ( 5, -8, 5 ); A4 ( 3, 2,-10 ).

5. A1 ( -10, -2, 0 ); A2 ( 4, 6, 5 ); A3 ( -7, 2, 4 ); A4 ( 2, 2, 0 ).

6. A1 ( -7, 6, -1 ); A2 ( 1, 1, -8 ); A3 ( -4, 5, 4 ); A4 ( 4, -3, 3 ).

7. A1 ( -10, 2, -5 ); A2 ( -7, 1,-9 ); A3 ( 6,-5, 6 ); A4 ( 5, -7,-5 ).

8. A1 ( -8,-5,-10 ); A2 ( 6, -2, 5 ); A3 ( 9, 5, 6 ); A4 ( 8, 2, 9 ).

9. A1 ( -2, -2, 4 ); A2 ( -6, 8, 1 ); A3 ( -4,-2, 3 ); A4 ( 0, 3,-8 ).

10. A1 ( 0, 3, 5 ); A2 ( -1, 3, 6); A3 ( -2, 4, 2 ); A4 ( 0, 5,4).

Задание 2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

1. Найти ее решение с помощью формул Крамера;

2. Записать систему в матричной форме и решить средствами матричного исчисления.

3. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10.

Задание 3. Вычислить пределы функции не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

1. а) ; б) ; в) ; г) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. а) ; б) ; в) ; г) .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. а) ; б) ;в) ; г) .

7. а) ; б) ; в) ; г) .

8. а) ; б) ; в) ; г) .

9. а) ; б) ; в) ; г) .

10. а) ;б) ;в) ; г)

Задание 4.Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.

1. а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г)

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. а) ; б) ;

в) ; г) .

7. а) ; б) ;

в) ; г) .

8. а) ; б) ;

в) ; г) .

9. а) ; б) ;

в) ; г) .

10. а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание 5. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x₀.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

Задание 6. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

Задание 7. Построить график функции y=f(x), используя общую схему исследования функции

1. ; 2. Y=x³+3x²-9x+5;

3. Y=x³+6x²-15x+8; 4. Y=x³-3x²-24x-28;

5. Y=x³+12x²+45x+50; 6. Y=x³-6x²+9x-4;

7. Y=x³-3x²-9x-5; 8. Y=x³-x²-15x-8;

9. Y=x³+3x²-24x+28; 10. Y=x³-12x²+45x-50.

Задание 8. Найти неопределенные интегралы

1.	1) ; 2) ; 3) .
2.	1) ; 2) ; 3) .
3.	1) ; 2) ; 3) .
4.	1) ; 2) ; 3) .
5.	1) ; 2) ; 3) .
6.	1) ; 2) ; 3) .
7.	1) ; 2) ; 3) .
8.	1) ; 2) ; 3) .
9.	1) ; 2) ; 3) .
10.	1) ; 2) ; 3) .

Список рекомендуемой литературы

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Том 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 416 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть I – М.:Образование, 2002г.

3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., испр. – М.: Высш.шк., 2001г. – 304 с.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – 5-е изд., стер. – М. : Высш.шк., 2002. – 479 с.

5. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.:Наука, 2002 г.

6. Барвин И.И. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов. – 3-е изд., стереотип. – М.: Академия, 2002. – 616 с.

МАТЕМАТИКА

Часть 1

Методические указания

Составители: Терещенко Игорь Викторович ;

Иващенко Наталья Геннадьевна;

Лисянская Варвара Николаевна