Отношения эквивалентности

Определим некоторые важные свойства бинарных отношений и рассмотрим бинарные отношения, которые обладают тремя из этих свойств и часто встречаются в математике. Такое бинарное отношение называется эквивалентностью.

СВОЙСТВА:

1. 1.1 Пусть отношения эквивалентности - student2.ru - бинарное отношение, отношения эквивалентности - student2.ru - область его задания, тогда отношения эквивалентности - student2.ru называется рефлексивным, если отношения эквивалентности - student2.ru , граф таких отношений имеет вид петли при каждой вершине

 
  отношения эквивалентности - student2.ru

1.2 отношения эквивалентности - student2.ru называется антирефлексивным, если отношения эквивалентности - student2.ru

2. 2.1 Отношение может быть симметричным, если

отношения эквивалентности - student2.ru (изображается любым графом)

Антисимметричным, если отношения эквивалентности - student2.ru (изображается ориентированным графом)

3. 3.1 Транзитивным. Отношение называется транзитивным, если отношения эквивалентности - student2.ru (изображается транзитивным графом – все вершины пересекаются)

Если для бинарного отношения отношения эквивалентности - student2.ru соблюдается три условия: рефлексивность, симметричность и транзитивность, то такое отношение называется эквивалентностью.

МАТРИЦЫ И ГРАФЫ

Понятие матрицы. Виды матриц. Свойства матриц. Линейные операции над матрицами. Единичные матрицы. Обратные матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел размером отношения эквивалентности - student2.ru , где m – число строк, а n – число столбцов.

Если m=n – матрица называется квадратной.

Если m-1 – матрица-строка.

Если n=1 – матрица-столбец.

Все числа, входящие в матрицу называются ее элемен­тами. Если все элементы состоят их нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.

Рассмотрим некоторые линейные операции над матрицами:

1. Сумма

отношения эквивалентности - student2.ru отношения эквивалентности - student2.ru

Исходя из определения можно складывать и вычитать матрицы только одного размера.

2. Произведение матрицы на число называется матрица, где каждый элемент матрицы умножается на это число.

отношения эквивалентности - student2.ru

3. Матрица умножается на матрицу по правилу строка на столбец

отношения эквивалентности - student2.ru

 
  отношения эквивалентности - student2.ru

отношения эквивалентности - student2.ru отношения эквивалентности - student2.ru

 
 
отношения эквивалентности - student2.ru

такое правило не годится для всех матриц, а именно, количество строк во второй матрице должно равняться количеству столбцов в первой матрице.

Квадратные матрицы перемножаются только одного размера.

4. Единичной матрицей называется квадратная матрица любого размера, где по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

отношения эквивалентности - student2.ru , играет роль единицы в матричном исчислении.

Если такую матрицу умножить на другую матрицу (при возможности умножения) даст исходную матрицу.

отношения эквивалентности - student2.ru отношения эквивалентности - student2.ru - дельта Кронекера

5. Обратной матрицей отношения эквивалентности - student2.ru называется матрица, которая отношения эквивалентности - student2.ru , заметим, что Е – квадратная, соответственно отношения эквивалентности - student2.ru тоже квадратные.

6. отношения эквивалентности - student2.ru (определитель), если отношения эквивалентности - student2.ru , то обратная матрица существует, если отношения эквивалентности - student2.ru , то матрица называется вырожденная.

Нахождение обратной матрицы

1. Метод присоединенной матрицы

1. отношения эквивалентности - student2.ru

2. отношения эквивалентности - student2.ru

3.

3.1 отношения эквивалентности - student2.ru (взаимная)

3.2 отношения эквивалентности - student2.ru

4. отношения эквивалентности - student2.ru

5. отношения эквивалентности - student2.ru

2. Метод элементарных преобразований

отношения эквивалентности - student2.ru

Наши рекомендации