Интегральное исчисление

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

«ЗАБАЙКАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ЗабГУ)

ФДПО

Кафедра математики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(2 семестра, 2 контрольные работы, 1с-экзамен; 2с-экзамен)

Цели и задачи курса

Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает:

развитие логического и алгоритмического мышления;

овладение основными методами исследования и решения математических задач;

овладение основными численными методами математики и их простейшими реализациями на ЭВМ;

выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач.

Общий курс математики является фундаментом математического образования инженера, имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.

Краткое содержание курса

Введение в математический анализ.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков.

Элементы высшей алгебры. Комплексные числа

Функции нескольких переменных.

Неопределенный интеграл.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Дифференциальные уравнения

Числовые ряды.

Функциональные и тригонометрические ряды.

Теория функций комплексного переменного.

Операционное исчисление.

Теоретические вопросы к экзамену за 1 семестр

Введение в математический анализ

1. Элементы математической логики. Множества. Числовые множества, числовые промежутки.

2. Функция. Область ее определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Сложные и обратные функции, их графики.

3. Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций.

4. Бесконечно малые в точке функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций.

5. Свойства функций , непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

6. Бесконечно малые в точке функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций.

7. Свойства функций непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Производная и ее приложения.

1. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Производная. Ее геометрический и механический смысл.

2. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Производная. Ее геометрический и механический смысл.

3. Производная суммы произведения и частного. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных.

4. Дифференциал функции. Производная и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование параметрических функций.

5. Теоремы Ферма, Роля, Коши, Лагранжа и их применение.

6. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимые и достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке.

7. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функции.

8. Общая схема исследования функции и построение графика.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Поверхности второго порядка

2. Функции многих переменных, область определения, свойства, предел и непрерывность Ф2П.

3. Дифференцирование функций многих переменных. Частные производные первого и высших порядков

4. Дифференцируемость и полный дифференциал функции. Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям.

5. Дифференциалы высших порядков.

6. Производная сложной функций. Полная производная.

7. Дифференцирование неявной функции.

8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

9. Экстремум функции многих переменных.

10. Производная по направлению. Градиент функции.

11. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.

12. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

Интегральное исчисление.

1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Основная таблица интегралов. 2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование подстановкой, интегрирование по частям.

3. Интегрирование рациональных функций.

4. Интегрирование иррациональных функций.

5. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

6. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.

7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства.

8. Методы приближенного интегрирования. Формула Симпсона.

9. Приложения определенного интеграла.

10. Двойной интеграл, его свойства. Вычисление двойных интегралов повторным интегрированием. Двойной интеграл в полярной системе координат.

11. Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройных интегралов повторным интегрированием. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.

12. Определение криволинейного и поверхностного интегралов первого рода, их свойства, примеры вычисления.

13. Определение криволинейного и поверхностного интегралов второго рода, их свойства, примеры вычисления.

14. Приложения криволинейных и поверхностных интегралов в геометрии и механике.

Контрольная работа №1 «Дифференциальное и интегральное исчисления»

№№141-150; 191-200; 231-240; 251-260; 281-290; 311-320

Замечание: Номер выбирается по последней цифре зачетки. Например, для варианта 1: №№ 141; 191; 231; 251; 281; 311. Для варианта 10: №№ 150; 200; 240; 260; 290; 300.

Условия заданий находятся в пособии «Общие указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения». (См. рекомендуемая литература, 9)

Теоретические вопросы к экзамену за 2 семестр