Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование предполагает использование при нахождении неопределенных интегралов таблицы интегралов
Таблица интегралов
Рассмотрим нахождение интегралов непосредственным методом.
Пример 1: Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: =
=
.
Пример 2: Найти неопределенный интеграл: .
Решение: =
.
Пример 3: Найти неопределенный интеграл
Решение: =
Метод подстановки в неопределенном интеграле
(метод замены переменной)
Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на ,где -непрерывно дифференцируемая функция, полагают и получают
При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотношения .
Рассмотрим нахождение интегралов методом подстановки.
Пример 1: Найти неопределенный интеграл
Решение: =
Пример 2: Найти неопределенный интеграл
Решение:
=
Пример 3: Найти неопределенный интеграл
Решение: =
Пример 4: Найти неопределенный интеграл
Решение: =
= = .
Определенный интеграл и его свойства
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку xk и обозначим через длину каждого такого отрезка.
Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида
Определение 3.3: Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл
Простейшие свойства определенного интеграла
1) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла
3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
4) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
5) Отрезок интегрирования можно разделить на части:
с-точка, лежащая между а и b.
6) Если на отрезке , то .
Для вычисления определенного интеграла от функции , в том случае , когда можно найти соответствующую первообразную , служит формула Ньютона-Лейбница:
=F(b)-F(a)
Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.
Пример 1: Вычислить определенный интеграл .
Решение: =
Пример 2:Вычислить определенный интеграл: .
Решение:
.