Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов , где – произвольные действительные числа.

Количество векторов фундаментальной системы рассчитывается по формуле:

Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

Представим общее решение Примера №3 в векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора . Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать и получить: .

Координаты вектора должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

Ответ: общее решение: , где (любое вещественное число)

Придавая параметру различные действительные значения, можно получить бесконечно много частных решений, например, если , то вектор частного решения однородного уравнения («Частное Однородной») равен:
, то есть набор переменных удовлетворяет каждому уравнению системы.

Это мы рассмотрели традиционный способ построения фундаментальной системы в так называемом нормальном виде – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Но правила хорошего математического тона предписывают избавляться от дробей, если это возможно. Поэтому в данном случае можно взять и из общего решения системы получить вектор с целыми координатами:

И тогда ответ запишется в эквивалентной форме:
, где (любое вещественное число)

Оба варианта ответа правильны, однако чайникам я всё-таки рекомендую классику жанра.

Поблагодарим задачник Рябушко за предоставленные примеры и перейдём к более основательным системам:

Пример 4

Решить однородную систему линейных уравнений

Ответ записать с помощью фундаментальной системы решений

Самостоятельно, plz. Примерный образец оформления в конце урока.

Закинем в копилку знаний ещё один полезный факт:

Взаимосвязь решений неоднородной
и соответствующей однородной системы уравнений

Представьте двух близких родственниц: неоднородную систему (у которой хотя бы одно число правой части отлично от нуля) и такую же систему– только справа одни нули (то бишь, однородную систему). Нетрудно предположить, что если системы отличаются лишь столбцом свободных членов, то между их решениями должна существовать тесная связь. И это действительно так! Материал целесообразнее рассмотреть на конкретной задаче, которая, как и все другие, взята из реальной контрольной работы:

Пример 5

Дана система линейных алгебраических уравнений

Требуется:

1) найти общее решение;

2) используя результат предыдущего пункта, найти общее решение соответствующей однородной системы и записать его в векторной форме.

Решение: по условию дана обычная неоднородная система уравнений, и первая часть не отличается новизной:

1) Запишем расширенную матрицу системы (не зеваем нолик в третьей строке) и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. К четвёртой строке прибавили первую строку, умноженную на –4.

(2) Последние три строки одинаковы, две из них удалили.

Обратным ходом метода Гаусса получим общее решение:
– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:
– подставим в 1-ое уравнение:

Общее решение неоднородной системы обозначим через («Общее Неоднородной»).

Ответ:

2) Во второй части задания требуется найти общее решение такой же, только однородной системы , причём по условию необходимо использовать ответ предыдущего пункта.

Выполнять элементарные преобразования заново, разумеется, не нужно.

Правило: общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и какого-либо частного решения неоднородной системы :

Откуда легко выражается общее решение нашей однородной системы:

Найдём какое-нибудь частное решение неоднородной системы. Проще всего взять нулевые значения свободных переменных :

Таким образом, общее решение соответствующей однородной системы:

Представим в векторной форме. Поскольку у нас две свободные переменные, то фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов.

Пойдём классическим путём:

Рассмотрим пару значений свободных переменных и получим первый вектор:
– координаты данного вектора удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (всегда желательна проверка!).

Теперь рассматриваем пару и получаем второй вектор:
– координаты данного вектора также удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (тоже проверяем!).

И вообще – любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы , где – произвольные действительные числа, является решением данной системы:

Ответ: , где

Иными словами, если взять два любых вещественных числа, например, , то получится вектор частного решения однородной системы:
, то есть набор удовлетворяет каждому уравнению однородной системы.

Если хотите избежать дробей, то при нахождении вектора следует выбрать значения и получить второй вектор в виде:

В этом случае ответ запишется в эквивалентной форме:
, где

Порядком многих я, наверное, подзапутал, но коль скоро задание не придумано, то его нельзя было обойти стороной.

Более распространённая тема для самостоятельного решения:

Пример 6

Дана однородная система

Найти общее решение и записать ответ с помощью векторов фундаментальной системы. В образце решения завершающим элементарным преобразованием я уже потихоньку начинаю приобщать вас к методу Жордано-Гаусса.

Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание:

Пример 7

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.

Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие.

(1) Ко 2-ой и 3-ей строкам прибавили первую строку. К 4-ой строке прибавили первую строку, умноженную на 2.

(3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили.

В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее:

– базисные переменные;
– свободные переменные.

Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения:

– подставим в 1-ое уравнение:

Таким образом, общее решение:

Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора.

Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно.

Для тройки значений находим вектор

И, наконец, для тройки получаем третий вектор:

Ответ: , где

Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде:

К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную , и, надо сказать, процесс это был не самый простой и не самый приятный.

Второй вариант решения:

Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные. Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование:

(4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Здесь базисные переменные легко и практически мгновенно выражаются через свободные переменные :

По существу, мы применили метод Жордано-Гаусса, который как раз и направлен на скорейшее получение базисного решения посредством дополнительных элементарных преобразований.

В результате общее решение:

Последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных тройки

и подстановкой их в получаем соответствующие векторы фундаментальной системы:

Не забываем проверить координаты каждого вектора!

Ответ: общее решение:
, где – действительные числа.

Как видите, второй способ гораздо проще и рациональнее, но для подобных изысков, конечно, необходимо обладать некоторым опытом.

Надеюсь, данная статья окончательно развеяла все страхи перед векторами, и теперь вы с огромным удовольствием откроете учебник по линейной алгебре, чтобы изучить теорию векторных пространств, линейных преобразований и другие не менее интересные вещи.

Решения и ответы:

Пример 2:Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавили первую строку.
(3) У первой строки сменили знак. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
(5) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 21.
Ранг матрицы системы равен количеству переменных, значит, система имеет только тривиальное решение.
Ответ:

Пример 4:Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем её ступенчатому виду:


(1) У третьей строки сменили знак и переместили её на 1-ое место.
(2) Ко 2-ой и 4-ой строкам прибавили первую строку, умноженную на 2 и 5 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на –5, 4-ую строку разделили на –17.
(4) Вторая и 4-ая строки одинаковы, последнюю строку удалили. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 4.
– базисные переменные;
– свободная переменная.
Выразим базисные переменные через свободную переменную.
Из последних двух уравнений:
– подставим в первое уравнение:


Таким образом, общее решение:
Найдем вектор фундаментальной системы решений. Для этого выберем в качестве значения свободной неизвестной :

Ответ: общее решение однородной системы уравнений:
, где (любое действительное число).

Пример 6:Решение:Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1.
(2) Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавили первую строку, умноженную на 5, 4 и 5 соответственно.
(3) Последние три строки пропорциональны, достаточно оставить только одну из них. У первой строки сменили знак.
(4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
– базисные переменные;
– свободные переменные.
Выразим базисные переменные через свободные переменные:

Таким образом, общее решение: .
Найдем векторы фундаментальной системы решений. Для этого последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных следующие пары: и :

Ответ: общее решение: , где – произвольные действительные числа.