Методические указания к решению первой

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

В этом параграфе приведён разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д):

а) 1. Методические указания к решению первой - student2.ru .

Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru .

2. Методические указания к решению первой - student2.ru .

Методические указания к решению первой - student2.ru .= Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru =0.◄

3. Методические указания к решению первой - student2.ru ..

Методические указания к решению первой - student2.ru .= Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru =-∞.

б) Методические указания к решению первой - student2.ru .

Решение. Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru =

Методические указания к решению первой - student2.ru

Предел Методические указания к решению первой - student2.ru вычислен подстановкой Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru
Предел Методические указания к решению первой - student2.ru не может быть вычислен подстановкой Методические указания к решению первой - student2.ru , поскольку в результате подстановки получается неопределенность Методические указания к решению первой - student2.ru .

в) Методические указания к решению первой - student2.ru .

Анализ задачи.Подстановка числа 2 вместо Методические указания к решению первой - student2.ru показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность Методические указания к решению первой - student2.ru . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения Методические указания к решению первой - student2.ru , либо применить правило Лопиталя.

Решение.Выражение Методические указания к решению первой - student2.ru является сопряженным по отношению к выражению Методические указания к решению первой - student2.ru , а выражение Методические указания к решению первой - student2.ru - по отношению к Методические указания к решению первой - student2.ru . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений ( Методические указания к решению первой - student2.ru )·( Методические указания к решению первой - student2.ru ), и используя формулу разности квадратов Методические указания к решению первой - student2.ru , получаем Методические указания к решению первой - student2.ru

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

Ответ: Методические указания к решению первой - student2.ru
Методические указания к решению первой - student2.ru

Анализ задачи.В данном случае, непосредственное применение те­оремы о пределе частного невозможного, поскольку, как показывает подстановка числа. -3 вместо x и предел числителя и предел знаме­натели равны пулю.

Методические указания к решению первой - student2.ru и Методические указания к решению первой - student2.ru

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида Методические указания к решению первой - student2.ru и для решения задачи требуется про­вести тождественные преобразования выражения, находящего­ся под знаком предела.

Решение.Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если Методические указания к решению первой - student2.ru — корни квадратного трехчлена Методические указания к решению первой - student2.ru , то Методические указания к решению первой - student2.ru ,

= Методические указания к решению первой - student2.ru Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D.

Методические указания к решению первой - student2.ru

Отсюда,

Методические указания к решению первой - student2.ru

Аналогично, Методические указания к решению первой - student2.ru

Поэтому, Методические указания к решению первой - student2.ru

Преобразуем выражение находящиеся под знаком предела:

Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru =

= Методические указания к решению первой - student2.ru

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при Методические указания к решению первой - student2.ru

Равны нулю, применимо правило Лопиталя.

Методические указания к решению первой - student2.ru

 
 
Ответ:10.

д) Методические указания к решению первой - student2.ru

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо x показывает, что пределы числителя и знаменателя при Методические указания к решению первой - student2.ru равны нулю. Поэтому, имеет место неопределённость Методические указания к решению первой - student2.ru .

Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения, либо применить правило Лопиталя.

Решение. Совершим замену неизвестной Методические указания к решению первой - student2.ru при этом Методические указания к решению первой - student2.ru

Так как Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru при Методические указания к решению первой - student2.ru то Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

Используем теперь тригонометрическую формулу Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Другое решение. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

 
 
Ответ: Методические указания к решению первой - student2.ru

ЗАДАЧА 2.Вычислить производные функций а) – в):

а) Вычислить производную функции

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

б) Вычислить производную функции

1. Методические указания к решению первой - student2.ru .

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

в) Вычислить производную функции

Методические указания к решению первой - student2.ru .

Методические указания к решению первой - student2.ru .◄

2. Методические указания к решению первой - student2.ru .

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru .◄

3. Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru .◄

ЗАДАЧА 3.Исследовать функцию и построить график

Исследовать функцию Методические указания к решению первой - student2.ru и построить её график.

►Исследуем данную функцию.

1.Областью определения функции является множество Методические указания к решению первой - student2.ru .

2.Ордината точки графика Методические указания к решению первой - student2.ru .

3.Точки пересечения графика данной функции с осями координат: Методические указания к решению первой - student2.ru

4.Легко находим, что Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru .

Находим наклонные асимптоты:

Методические указания к решению первой - student2.ru

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота Методические указания к решению первой - student2.ru

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, ло­кальный экстремум:'

y= 2(х + 3)(x-4)-(x + 3)2 _ 2x2 – 2x - 24 – х2 - 6х - 9 =
(х-4)2 (x-4)2

= Методические указания к решению первой - student2.ru .

Из у' = 0 следует хг — 8х — 33 = 0, откуда Методические указания к решению первой - student2.ru = 11, х2=— 3. В интервале (—∞; — 3) y'> 0, следовательно, функция возрастает в этом интервале; в (—3; 4) y'<0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке х = —3 имеет локальный максимум: у( —3) = 0. В интервале (4; 11)

у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интер­вале; в (11; +∞) у'>0, т. е. функции возрастает. В точке Методические указания к решению первой - student2.ru = 11 имеем локальный минимум: y(ll) =28.

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем

Методические указания к решению первой - student2.ru =

= Методические указания к решению первой - student2.ru = Методические указания к решению первой - student2.ru .

Очевидно, что в интервале (—∞; 4) y"< 0, и в этом интервале кривая выпукла; в (4; +∞)

у" > 0, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при х = 4 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

7. График функции изображен на рис. 0.17

Методические указания к решению первой - student2.ru

ЗАДАЧА 4.Вычислить неопределенные интегралы а) – в)

а)

1. Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

2. Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

3. Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru .◄

4. Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru .◄

б) Методические указания к решению первой - student2.ru .

Решение. Решение данной задачи на формуле интегрирования по частям:

 
 
Методические указания к решению первой - student2.ru

В этой формуле принимаем за

Методические указания к решению первой - student2.ru По формуле Методические указания к решению первой - student2.ru находим производственную второго сомножителя Методические указания к решению первой - student2.ru :

Методические указания к решению первой - student2.ru

Подставляя найденные Методические указания к решению первой - student2.ru в формулу интегрирования по частям получаем:

Методические указания к решению первой - student2.ru

 
 
Методические указания к решению первой - student2.ru

в) Методические указания к решению первой - student2.ru )

Решение.Так как корнями знаменателя является Методические указания к решению первой - student2.ru , то по формуле Методические указания к решению первой - student2.ru , знаменатель раскладываются на множители

Методические указания к решению первой - student2.ru .

Подставим дробь в виде следующей суммы:

Методические указания к решению первой - student2.ru ,

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой равенства части к общему знаменателю:

Методические указания к решению первой - student2.ru

Приравняв числители, получим

(2) Методические указания к решению первой - student2.ru .

Подставив в последнее равенство Методические указания к решению первой - student2.ru , находим, что

Методические указания к решению первой - student2.ru

Подставляя Методические указания к решению первой - student2.ru в равенство (2), находим, что

Методические указания к решению первой - student2.ru

Таким образом, Методические указания к решению первой - student2.ru .

Итак, Методические указания к решению первой - student2.ru

Здесь мы воспользуемся формулой (1)

 
 
Методические указания к решению первой - student2.ru

ЗАДАЧА 5.Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций Методические указания к решению первой - student2.ru . Изобразите эту фигуру на координатной плоскости.

Решение. Графиком функции Методические указания к решению первой - student2.ru является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции Методические указания к решению первой - student2.ru и находим координаты вершины параболы С:

Методические указания к решению первой - student2.ru

 
  Методические указания к решению первой - student2.ru
Методические указания к решению первой - student2.ru
 
  Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

 
  Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

 
  Методические указания к решению первой - student2.ru
Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

 
  Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru Рис. к задаче 5

Найдем точки пересечения графиков функции : Методические указания к решению первой - student2.ru .

Методические указания к решению первой - student2.ru

Заметим, что Методические указания к решению первой - student2.ru Графиком функции Методические указания к решению первой - student2.ru является прямая, которую можно построить по двум точкам Методические указания к решению первой - student2.ru .

Пусть Методические указания к решению первой - student2.ru площадь фигуры Методические указания к решению первой - student2.ru , ограниченной графиками функций. Так как Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru
Методические указания к решению первой - student2.ru

ЗАДАЧА 6.

Задание 1.

Даны координаты точек:

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

Найти:

1. Координаты векторов Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru и Методические указания к решению первой - student2.ru , их длины, записать разложение этих векторов по базису Методические указания к решению первой - student2.ru

2. Координаты векторов Методические указания к решению первой - student2.ru .

3. Косинус внутреннего угла АВС.

Задание 2.

Даны координаты вершин пирамиды:

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

Найти:

1. Площадь основания АВС пирамиды.

2. Объем пирамиды ABCD.

3. Длину высоты пирамиды DO, опущенную из вершины D на основание АВС.

Задание 3. Даны координаты четырех точек (смотреть таблицу)

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

1) Составить общее уравнение плоскости АВС.

2) Составить канонические и параметрические уравнения прямой АD.

Решение.

Задание 1

Пусть даны точки A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0).

1. Для того чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты его начала. Тогда Методические указания к решению первой - student2.ru Аналогично находим координаты остальных векторов: Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

Найдём длины векторов:

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

Запишем разложение этих векторов по базису Методические указания к решению первой - student2.ru :

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

2. Используя правила действия с векторами, получаем:

Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

1. Внутренний угол ABC определяется как угол между векторами Методические указания к решению первой - student2.ru и Методические указания к решению первой - student2.ru Предварительно найдём координаты этих векторов: Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru . Затем, используя формулы для вычисления скалярного произведения векторов и длины векторов, найдем косинус внутреннего угла ABC:

Методические указания к решению первой - student2.ru

Задание 2.

Пусть даны точки A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0).

1. Треугольник ABC построен на векторах Методические указания к решению первой - student2.ru и Методические указания к решению первой - student2.ru Для вычисления площади основания ABC найдём векторное произведение этих векторов: Методические указания к решению первой - student2.ru . Площадь треугольника ABC равна Методические указания к решению первой - student2.ru модуля векторного произведения: Методические указания к решению первой - student2.ru

2. Пирамида ABCD построена на векторах Методические указания к решению первой - student2.ru Объём пирамиды ABCD вычисляется как Методические указания к решению первой - student2.ru модуля смешанного произведения этих векторов: Методические указания к решению первой - student2.ru . Так как смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов, то Методические указания к решению первой - student2.ru . Тогда Методические указания к решению первой - student2.ru

3. Длину высоты пирамиды DO, опущенную из вершины D на основание ABC, определим как расстояние от точки D до плоскости ABC. Для этого составим общее уравнение плоскости ABC. Будем использовать уравнение плоскости, проходящей через три точки A, B и C:

Методические указания к решению первой - student2.ru x+2y+2z-18=0.

Используя формулу нахождения расстояния от точки до прямой, получаем:

Методические указания к решению первой - student2.ru

Итак, длина высоты DO равна 2.

Задание 3.

Пусть даны точки A(1; 3; 0), B(4; -1; 2), C(3; 0; 1), D(1; 2; 3).

1. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки A, B и C:

Методические указания к решению первой - student2.ru .

Раскрывая определитель и преобразуя полученное уравнение, получим общее уравнение плоскости ABC: 2x+y-z-5=0.

2. Для составления канонических и параметрических уравнений прямой AD, нам понадобится точка, лежащая на этой прямой (можно взять точку A или D), и направляющий вектор этой прямой. В качестве направляющего вектора прямой AD можно взять вектор Методические указания к решению первой - student2.ru Тогда канонические уравнения прямой AD принимают вид:

Методические указания к решению первой - student2.ru

параметрические:

Методические указания к решению первой - student2.ru

ЗАДАЧА 7.

Решить систему алгебраических линейных уравнений по правилу Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

Пример. Рассмотрим систему алгебраических линейных уравнений:

Методические указания к решению первой - student2.ru

Решение.

1. Правило Крамера (см.[2] глава 10. стр.268).

Согласно этому правилу, Методические указания к решению первой - student2.ru , где

Методические указания к решению первой - student2.ru

Находим определитель системы:

Методические указания к решению первой - student2.ru

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

По формулам Крамера находим:

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

2. Матричный способ.

Введём обозначения: Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Тогда систему можно переписать в виде матричного уравнения: Методические указания к решению первой - student2.ru , решение которого находим по формуле Методические указания к решению первой - student2.ru Прежде всего найдём матрицу Методические указания к решению первой - student2.ru , обратную матрице Методические указания к решению первой - student2.ru Определитель системы Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Следовательно для матрицы Методические указания к решению первой - student2.ru существует обратная. Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

Отсюда Методические указания к решению первой - student2.ru

Тогда Методические указания к решению первой - student2.ru

Итак, Методические указания к решению первой - student2.ru

3. Метод Гаусса.

Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарныхпреобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования:

Методические указания к решению первой - student2.ru Методические указания к решению первой - student2.ru

Методические указания к решению первой - student2.ru

Здесь выполнены следующие преобразования:

а) первую и вторую строчки поменяли местами;

б) первую строчку умножили на -2 и сложили со второй, первую строчку умножили на -3 и сложили с третьей;

в) третью строчку разделили на -2;

г) вторую строчку сложили с третьей;

д) третью строчку разделили на 3.

Последней матрице соответствует следующая система уравнений:

Методические указания к решению первой - student2.ru

Из этой системы последовательно находим:

Методические указания к решению первой - student2.ru

Контрольная работа № 1

Формулировки условий задач контрольной работы.

[1]. Вычислить предел функции.

[2]. Вычислить производную функцию.

[3]. Исследовать функцию, построить график.

[4]. Вычислить неопределённые интегралы.

[5] Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и Методические указания к решению первой - student2.ru

[6]. Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух

►Вариант 0◄

1. а) Методические указания к решению первой - student2.ru б) Методические указания к решению первой - student2.ru

в) Методические указания к решению первой - student2.ru г) Методические указания к решению первой - student2.ru

д) Методические указания к решению первой - student2.ru

2. а) Методические указания к решению первой - student2.ru ; б) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

в) Методические указания к решению первой - student2.ru

3. Методические указания к решению первой - student2.ru .

4. а) Методические указания к решению первой - student2.ru ; б) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

в) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

5. Методические указания к решению первой - student2.ru .

6. Задание 1.

Даны координаты точек:

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

Найти:

1. Координаты векторов Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru и Методические указания к решению первой - student2.ru , их длины, записать разложение этих векторов по базису Методические указания к решению первой - student2.ru

2. Координаты векторов Методические указания к решению первой - student2.ru .

3. Косинус внутреннего угла АВС.

Задание 2.

Даны координаты вершин пирамиды:

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

Найти:

1. Площадь основания АВС пирамиды.

2. Объем пирамиды ABCD.

3. Длину высоты пирамиды DO, опущенную из вершины D на основание АВС.

Задание 3. Даны координаты четырех точек

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

1) Составить общее уравнение плоскости АВС.

2) Составить канонические и параметрические уравнения прямой АD.

Дано: Методические указания к решению первой - student2.ru

7.Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) методом обратной матрицы

Методические указания к решению первой - student2.ru

►Вариант 1◄

1. а) Методические указания к решению первой - student2.ru б) Методические указания к решению первой - student2.ru

в) Методические указания к решению первой - student2.ru г) Методические указания к решению первой - student2.ru

д) Методические указания к решению первой - student2.ru

2. а) Методические указания к решению первой - student2.ru ; б) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

в) Методические указания к решению первой - student2.ru

3. Методические указания к решению первой - student2.ru .

4. а) Методические указания к решению первой - student2.ru ; б) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

в) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

5. Методические указания к решению первой - student2.ru .

6. Задание 1.

Даны координаты точек:

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

Найти:

1. Координаты векторов Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru и Методические указания к решению первой - student2.ru , их длины, записать разложение этих векторов по базису Методические указания к решению первой - student2.ru

2. Координаты векторов Методические указания к решению первой - student2.ru .

3. Косинус внутреннего угла АВС.

Задание 2.

Даны координаты вершин пирамиды:

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

Найти:

1. Площадь основания АВС пирамиды.

2. Объем пирамиды ABCD.

3. Длину высоты пирамиды DO, опущенную из вершины D на основание АВС.

Задание 3. Даны координаты четырех точек

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

1. Составить общее уравнение плоскости АВС.

2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой АD.

Дано: Методические указания к решению первой - student2.ru

7.Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) методом обратной матрицы

Методические указания к решению первой - student2.ru

►Вариант 2◄

1. а) Методические указания к решению первой - student2.ru б) Методические указания к решению первой - student2.ru

в) Методические указания к решению первой - student2.ru г) Методические указания к решению первой - student2.ru

д) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

2. а) Методические указания к решению первой - student2.ru ; б) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

в) Методические указания к решению первой - student2.ru

3. Методические указания к решению первой - student2.ru .

4. а) Методические указания к решению первой - student2.ru ; б) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

в) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

5. Методические указания к решению первой - student2.ru .

6. Задание 1.

Даны координаты точек:

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

Найти:

1. Координаты векторов Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru и Методические указания к решению первой - student2.ru , их длины, записать разложение этих векторов по базису Методические указания к решению первой - student2.ru

2. Координаты векторов Методические указания к решению первой - student2.ru .

3. Косинус внутреннего угла АВС.

Задание 2.

Даны координаты вершин пирамиды:

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

Найти:

1. Площадь основания АВС пирамиды.

2. Объем пирамиды ABCD.

3. Длину высоты пирамиды DO, опущенную из вершины D на основание АВС.

Задание 3. Даны координаты четырех точек

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

1) Составить общее уравнение плоскости АВС.

2) Составить канонические и параметрические уравнения прямой АD.

Дано: Методические указания к решению первой - student2.ru

7.Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) методом обратной матрицы

Методические указания к решению первой - student2.ru

.

►Вариант 3◄

1. а) Методические указания к решению первой - student2.ru б) Методические указания к решению первой - student2.ru

в) Методические указания к решению первой - student2.ru г) Методические указания к решению первой - student2.ru

д) Методические указания к решению первой - student2.ru

2. а) Методические указания к решению первой - student2.ru ; б) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

в) Методические указания к решению первой - student2.ru

3. Методические указания к решению первой - student2.ru .

4. а) Методические указания к решению первой - student2.ru ; б) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

в) Методические указания к решению первой - student2.ru ;

5. Методические указания к решению первой - student2.ru .

6. Задание 1.

Даны координаты точек:

А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3), D(х4, у4, z4).

Найти:

1. Координаты векторов Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru , Методические указания к решению первой - student2.ru и Методические указания к решению первой - student2.ru , их длины, записать разложение этих векторов по базису Методические указания к решению первой - student2.ru

Наши рекомендации