Криволинейные интегралы второго рода

Определение

Предположим, что кривая C задана векторной функцией Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

Рис.1 Рис.2

Введем векторную функцию Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

существовал криволинейный интеграл Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru . Такой интеграл Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

Таким образом, по определению,

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

где Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru − единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

где Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru .

Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:

1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

2. Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

3. Если кривая C задана параметрически в виде Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru , то

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

4. Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru (предполагается, что R =0 и t = x), то последняя формула записывается в виде

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

Пример 1

Вычислить интеграл Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru , где кривая C задана параметрически в виде Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru .

Решение. Используя формулу Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

находим ответ: Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

71.

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

72.Вычисление поверхностного интеграла.

Если существует конечный предел

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек Mi Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru ΔSi(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

К использованию этих условий, равно как и условий, получающихся из них перестановкой переменных x, y, z сводится большинство практически встречающихся случаев по плоской области τ. Переходя к пределу, получаем:

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

73. формула Стокса, формула преобразования криволинейного интеграла по замкнутому контуру L в поверхностный интеграл по поверхности S, ограниченной контуром L. Стокса формула имеет вид:

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru ,

причём направление обхода контура L должно быть согласовано с ориентацией поверхности S. В векторной форме Стокса формула приобретает вид:

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru ,

где а = Pi + Qj + Rk, dr — элемент контура L, ds — элемент поверхности S, n — единичный вектор внешней нормали к этой поверхности.

74. Фо́рмула Острогра́дского — математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля пообъёму, ограниченному этой поверхностью:

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

то есть интеграл от дивергенции векторного поля Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru , распространённый по некоторому объёму Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru , равен потоку вектора через поверхность Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru , ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru

где Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru и Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru — элемент объёма, Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru — элемент поверхности. Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

23.

Метод замены переменной
 
Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением Криволинейные интегралы второго рода - student2.ru где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du. Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования.

Наши рекомендации