Теорема сложения вероятностей

Основные понятия теории вероятности. Эксперимент и его пространство элементарных событий.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события). Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

Экспериментом или испытанием называется осуществление какого-либо комплекса условий, который можно практически или мысленно воспроизвести сколь угодно большое число раз. Примеры эксперимента: подбрасывание монеты, извлечение одной карты из перетасованной колоды.

Явления, происходящие при реализации этого комплекса условий, то есть в результате эксперимента, называются элементарными событиями.

Множество всех элементарных событий эксперимента называется пространством элементарных исходов (W).

Если пространство элементарных событий содержит n элементарных исходов, то:

W=(w1, w2 ,..., wn).

Классификация событий. Действия над событиями.

Событие называется достоверным (Е), если оно обязательно наступает при некоторых данных условиях. Если при данных условиях событие никогда не наступает, оно называется невозможным (Ø).Случайным ( А,В,С,…) называется такое событие, которое в результате опыта может наступить и не наступить.

Если появление одного события исключает появление другого, то они называются несовместными, в противном случае два события называются совместными.

Два события, образующие полную группу несовместных событий, называются противоположными.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Каждое событие (из полной группы несовместных и равновозможных событий), которое может наступать в испытании, называется элементарным исходом испытания или элементарным событием.

Операции над событиями: Суммой событий A и Bназывается событие C = A + B или C = A∪ B , заключающееся в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением событий A и B называется событие C = AB или C = A∩ B , обозначающеепоявление всех перемножаемых событий.

Разностью событий A и B называется событие C = A - B или C = A \ B, обозначающее наступление события A и ненаступление события B.

Классическое определение вероятности, геометрическое определение вероятности, статистическое определение вероятности.

Классической вероятностью события A называется отношение числа m благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев n:

Геометрической вероятностью события Aназывается отношение n-мерного объема области, благоприятствующей появлению события, к n-мерному объему всей области:

Статистической вероятностью события Аназывается относительная частота появления этого события в произведенных испытаниях, т. е.:

где,

- статистическая вероятность события А;

w(A) - относительная частота наступления события А;

m - число испытаний, в которых появилось событие А;

n - общее число испытаний.

Элементы комбинаторики (принцип перестановки, размещения, сочетания).

Комбинаторика –это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Всякое упорядоченное конечное множество называется перестановкой, образованной из его элементов. Число перестановок из n элементов обозначают через Pn:

Размещением из n элементов по k называется всякая упорядоченная часть множества a1, a2 , a3,..., an, содержащая k элементов. Число размещений из n элементов по k обозначают через :

Сочетанием из n элементов, взятых по k , называется всякая часть множества a1, a2 , a3,..., an, содержащая k элементов. Число всех сочетаний из n элементов по k обозначают через :

Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий: P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) для любых событий A и B.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий: если AB =Ø, то P (A + B) = P (A) + P (B).

6) Зависимые и независимые события. Умножение вероятностей.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность появления события A зависит от того, произошло или не произошло событие B.

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Вероятность того, что произошло событие A при условии, что произошло событие B, называют условной вероятностью события Aпри условии B, обозначают P(A/ B).

Теорема умножения вероятностей.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятностьдругого, найденную в предположении, что первое событие уже произошло, т.е.:

P (AB) = P (B) P (A / B)

или

P (AB) = P (A) P (B/ A)