Подключение RL-цепи к источнику переменной ЭДС
Лекция 11.11.13 г.
К цепи, состоящей из активного сопротивления и индуктивности (рис 2.1, при условии- Ro равно бесконечности), вместо источника постоянной ЭДС E подключается источник переменной ЭДС
, (2.13)
где - амплитуда, - угловая частота, - начальная фаза. Начальный ток через индуктивность равен нулю.
Изменение тока во времени определяется дифференциальным уравнением [6]:
. (2.14)
Представим полный ток суммой свободной и принужденной составляющих
. (2.15)
Принужденная составляющая в уравнении (2.15) соответствует установившемуся току в цепи по завершении переходного процесса:
, (2.16)
где - сдвиг фазы тока по отношению к фазе напряжения находится по формуле:
.
Так как в установившемся режиме в цепи с индуктивным характером нагрузки ток отстает от напряжения, угол в уравнении (2.16) следует записать со знаком «минус».
Используя принцип суперпозиции, другую составляющую тока в (2.15), согласно (2.14), определим из уравнения
.
Его характеристическое уравнение
,
и поэтому свободная составляющая будет
, (2.17)
где К – постоянная интегрирования, которую можно найти из начальных условий.
Подставляя (2.16) и (2.17) в уравнение (2.15), мы получим
, (2.18)
и, поскольку ток в момент t=0 также равен нулю, будем иметь
.
Введем обозначение разности углов
.
Тогда уравнение (2.15) можно записать в следующей форме:
, (2.19)
где .
Из (2.19) следует, что наиболее возможный свободный ток возникает при . Ток в цепи в переходном режиме в этом случае равен
. (2.20)
Заметим, что максимальное (по модулю) значение тока в переходном режиме может значительно превосходить амплитуду . Если f=50 Гц , то наибольшие (по модулю) значения, согласно (2.20), будут наблюдаться при t=0.01 с. Их зависимость от постоянной времени цепи Т в относительных единицах (по отношению к ) представлена в таблице 2.1. (вторая строка, ).
Таблица 2.1.
0.2 | 0.18 | 0.16 | 0.14 | 0.12 | 0.10 | 0.08 | 0.06 | 0.04 | 0.02 | |
1.9512 | 1.9460 | 1.9394 | 1.9311 | 1.9200 | 1.9048 | 1.8825 | 1.8465 | 1.7788 | 1.6065 |
Следовательно, если с, то максимальное (по модулю) значение переходного тока превышает амплитуду установившегося переменного тока в 1.95 раза, а при с – более, чем в 1.6 раза.
Если же постоянная времени цепи мала по сравнению с периодом установившегося переменного тока, то свободная составляющая в (2.20) быстро затухает, и значительного увеличения переходного тока не получается.
Остановимся еще на одном важном моменте. Дело в том, что подключение RL-цепи к источнику синусоидальной ЭДС, как правило, выполняется в произвольный момент времени, т. е. при различных значениях начальной фазы .
Если равен (- ) или ( ), то свободная составляющая тока (см. формулу 2.19) равна нулю, и в цепи установится принужденная составляющая. По мере приближения к нулю, свободная составляющая возрастает, и при переходный режим будет наиболее неблагоприятным.
Для получения графиков токов в переходном режиме предлагается файл “sah361.m”, составленный в среде MatLAB.
% File 'sah361.m'.
% RL- circuit with AC voltage source.
R=0.628;L=0.1;w=314;E=230;
ksi=atan(w*L/R);
%===================================
fi=15;
%===================================
fi1=(pi/180)*fi;
t=0:0.0002:0.12;
e=E*cos(w*t+fi1);
I=E/(sqrt(R^2+(w*L)^2));
bet=fi1-ksi;
i1=I*cos(w*t+bet);
i2=I*(exp(-R/L*t)).*cos(bet);
i=i1-i2;
plot(t,i1,t,-i2,t,i,t,e*0.05),grid
xlabel('Time, sec'),
ylabel('0.05*e(t), i1(t), i2(t), i(t)=i1(t)-i2(t)')
Расчеты выполняются для RL-цепи со значениями R=0.628 Ом, L=0.1 Гн, f=50 Гц, E=230 В. Переходный процесс рассчитывается во временном диапазоне с. Шаг дискретности 0.0002 с. Ток в цепи, вычисляемый по формуле (2.19), может быть определен для различных углов . Значения угла , помещенного в программе между двумя штрих - пунктирными линиями, задаются в градусах. По завершении вычислений производятся графические построения принужденной и свободной составляющих токов, а также полного тока в переходном режиме..
Рис.2.9. Переходный процесс в RL- цепи:
e(t) - ЭДС источника питания, i1(t) и i2(t) – принужденная и свободная составляющие тока, i(t) - переходный ток, =90 град
Рис.2.10. Переходный процесс в RL- цепи:
e(t)- ЭДС источника, i1(t) и i2(t)- принужденный и свободный токи, i(t)- полный ток цепи,
На рис. 2.9 показаны переходный ток и его составляющие при подключении цепи к источнику ЭДС с начальной фазой , а на рис. 2.10 – при подключении цепи к источнику с начальной фазой . Видно, что во втором случае свободный ток значительно уменьшается, и в переходном режиме полный ток несущественно отличается от принужденной его составляющей.
Файл
% sah361.m
% File 'sah361.m'.
% Подключение RL- цепи к источнику переменной ЭДС.
R=0.628;L=0.1;w=314;E=230;
ksi=atan(w*L/R);
Ksi_grad=ksi*180/pi
%===================================
fi=-1.1458;
%===================================
fi1=(pi/180)*fi;
t=0:0.0002:0.12;
e=E*cos(w*t+fi1);
I=E/(sqrt(R^2+(w*L)^2));
bet=fi1-ksi;
Bet_grad=bet*180/pi
i1=I*cos(w*t+bet);
i2=I*(exp(-R/L*t)).*cos(bet);
i=i1-i2;
plot(t,i1,t,-i2,t,i,t,e*0.05),grid
xlabel('Время, с.'),
ylabel('0.05*e(t), i1(t), i2(t), i(t)=i1(t)-i2(t)')
>> sah361
Ksi_grad =
88.8542
Bet_grad =
-90.0000