На тему: «Методика предельного анализа. Оптимизация прибыли, издержек и объемов»

Лекция № 6 по дисциплине « УПРАВЛЕНИЕ ЗАТРАТАМИ»

Получение максимальной прибыли возможно при оптимальном сочетании объемов реализации и цены на выпускаемую продукцию. Существуют простые и эффективные приемы определения оптимального соотношения цены и объемов реализации, главным условием которого является предварительное деление затрат на переменные и постоянные.

Задача максимизации прибыли состоит в определении положения динамического равновесия между спросом и предложением и в нахождении равновесной цены и соответствующего объема продаж.

Приведем основные положения методики предельного анализа.

При принятии решений, нацеленных на увеличение прибыли, необходимо сопоставить предполагаемые величины предельного дохода и предельных затрат.

Предельный доход – это прироствыручки от реализации на единицу прироста количества производимого продукта.

Предельные издержки – это прирост издержек на производство единицы дополнительной продукции.

Чтобы прибыль была максимальна необходимо равенство предельного дохода и предельных издержек.

Прибыль = Цена * Объем продукции – Затраты → максимум.

Условие максимума это равенство первой производной нулю.

d П / d У = d ( Ц*У) /d У - d З / d У = 0

d (Ц * У) / d У = d З |/ d У

Предельный доход должен быть равен предельным затратам, чтобы прибыль была максимальна.

Важнейшими маркетинговыми инструментами являются кривые спроса и предложения. Точка их пересечения – точка динамического равновесия соответствует некоторому оптимальному варианту: равенству спроса и предложения. Равновесная цена рационализирует спрос покупателей передавая ему информацию о том, на какой объем потребления данного товара по этой цене он может рассчитывать. Равновесная цена дает информацию производителю о том, какое количество продукции ему следует изготовить и доставить на рынок по этой цене. Изменение равновесной цены является сигналом для покупателя и производителя к изменению производства и потребления.

Использование методики предельного анализа не требует специального построения кривой предложения и не предполагает определения точки динамического равновесия графическим путем, все результаты получаются аналитически.

При формировании цены, с точки зрения спроса, очень важным становится построение функции спроса – набора данных в графической или табличной форме о сложившемся на рынке соотношении между ценой на товар и возможным объемом его реализации по этой цене.

При эластичном спросе эта зависимость имеет следующий вид:

Спрос может быть эластичным, неэластичным и иметь отрицательную эластичность. В этом случае при снижении цены объем продаж так же снижается.

Для построения конкретной зависимости, связывающей максимально возможный объем реализации и цену могут быть использованы следующие методы:

- использование регрессивных зависимостей при обобщении исторических данных о спросе на этот вид товара в прошлом, чтобы использовать построенную зависимость для прогноза на ближайшую перспективу.

- экспертные оценки менеджеров по продажам, обобщение и обработка которых с помощью математических методов позволяет получить некоторое среднее субъективных оценок.

Каждый из методов имеет свои ограничения, недостатки и достоинства.

При использовании метода регрессии прогноз спроса опирается на фактическую информацию о продажах и использует количественные приемы обработки данных за прошедший период времени.

Метод построения регрессивной зависимости включает:

1.анализ временных рядов объемов продаж и цен;

2.формирование представительной выборки;

3.экстраполяцию зависимости цены и объемов продаж на ближайшее будущее.

Рассмотрим пример использования метода регрессии для построения функции спроса при продажах консервной продукции ОАО «Консервный завод».

Производство консервной продукции типа А составляет более 50% общего объема продаж. Их реализация приносит основную массу прибыли, поэтому ей уделяется особое внимание. Уровень конкуренции среди предприятий отрасли оценивается как высокий. Из–за ценового давления конкурентов в последнее время АО теряет свою нишу рынка. По возможности точный анализ спроса и пересмотр собственной стратегии стал необходимостью для предприятия.

Построим функцию спроса, точнее ее приближенное представление в некотором интервале, соответствующем сегменту рынка консервов. А затем будем использовать ее в предельном анализе.

Из набора данных нужно составить представительную выборку, исключив значения которые по экспертным оценкам «выпадают» из общего ряда, в частности не являются показательными для стабильной работы предприятия. Затем, нужно подвергнуть базу данных первичной статистической обработке. Обработанный массив данных будет служить основой для построения аналитической зависимости цены на консервы от объема продаж.

Таким образом, основными этапами обработки данных являются:

1.Исключение отдельных значений, выпадающих из общей выборки на основе опробованных статистических критериев.

2.Проверка представительности выборки

3.Оценка достоверности полученной математической модели.

В результате процесса формирования достоверной выборки были исключены из рассмотрения данные января, т.к. в этом месяце средняя цена реализации определялась ценами прошлого года и была более, чем на 20% ниже среднегодовых цен.

Были исключены также данные за июль и декабрь, т.к. в эти месяцы продажи по различным причинам были убыточными, а для нас важен прогноз рентабельной работы.

Февральские и августовские данные были исключены по правилам первичной статистической обработки, как имеющие наибольшее по выручке и наименьшее по прибыли значения (крайние значения).

Данная методика является удобной для получения предварительных оценок спроса, но поскольку она носит отчасти субъективный характер, то предполагает в дальнейшем проверку на достоверность

Таблица 1.

Исходные данные для предельного анализа

Показатели								Итого
Объем продаж в туб.	142,8		171,1	103,4		139,8	144,4	957,5
Цена за 1 тубу в тыс. руб.	5,6		5,26	5,61	6,5	6,44	6,51	40,92
Выручка в тыс. руб.
Затраты в тыс. руб.
Прибыль в тыс. руб.
Сумма квадратов объемов продаж	20391,		29275,	10691,			20851,	138129,97

На основе данных 7 месяцев построим линейную аппроксимацию функции спроса для ежемесячных объемов продаж с помощью метода наименьших квадратов. Максимальное расхождение расчетных м фактических данных не должно превышать 10%. Такой точности достаточно для приближенных расчетов. Если точность полученных расчетов не достаточно высока, то следует заменить вид исходного уравнения на другое (параболу или гиперболу).

Если представить функцию спроса в виде линейной зависимости, то она будет иметь вид:

Ц = а₀ + а₁ * У, где:

Ц – средняя цена 1 тубы;

У – объем реализации за месяц в тубах;

а₀ и а₁ – постоянные коэффициенты, значение которых определяется с помощью метода наименьших квадратов на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида:

п* а₀ + а₁ *∑У_i = ∑Ц_i

а₀ *∑У_{i +} а₁ *∑У_i ²= ∑Ц_{i *}У_i

где : п – число наблюдений ( лет, месяцев)

Ц – цена единицы продукции

У – количество продукции в натуральном выражении.

7а₀ + 957,5 а₁= 40,92 ( : 7)

957,5 а₀ + 138129,92 а₁= 5520 ( : 957,5)

а₀ + 136,8 а₁ = 5,85

а₀ + 144,3 а₁ = 5,76

Вычитаем из первого уравнения второе:

А₀ = 5,85 – 136,8 а₁

Подставим значение а₀ во второе уравнение:

5,85 – 136,8 а₁+ 144,3 а₁ = 5,76

7,5а₁ = - 0,09

а₁ = - 0,012

а₀ = 5,85 – 136,8 (- 0,012) = 7,49

а₀ = 7,49

Эмпирическая функция спроса имеет вид:

Ц = 7,49 – 0,012 У

Прогноз, сделанный на основе временных рядов данных, имеет смысл для краткосрочного периода, в отношении которого можно принять, что характеристики изучаемого явления существенно не изменятся.

Это предположение часто оказывается реалистичным вследствие инерционности среды.

Основная ограниченность статистических методов состоит в том, что они позволяют «предсказать» эволюцию спроса, но не способны предвидеть разные поворотные точки.

Определим теперь оптимальный объем реализации за месяц и цену на консервы, используя полученную ранее линейную функцию спроса и данные об уровне затрат.

Сначала проведем деление затрат на постоянную и переменную часть с помощью метода наименьших квадратов и данных о себестоимости реализованной продукции за те же 7 месяцев года.

п * в₀ + в₁ ∑У_i = ∑З_i

в_{0 *} ∑У_i = + в₁ ∑У_i ²= ∑З_i* У_i

Построим на основе их функцию затрат.

З = в₀ + в₁* У , где:

В₀ - уровень постоянных затрат;

В₁ – уровень удельных переменных затрат на тубу.

7в₀+ 957,5 в₁ = 3740 ( : 7)

957,5 в₀ + 138129,92 в₁ = 528962 ( : 957,5)

в₀+ 136,8 в₁ = 534,3

в₀ + 144,3 в₁ = 552,4

Вычтем из первого уравнения второе:

В₀ = 534,3 – 136,8 в₁

Подставим полученное значение во второе уравнение :

534,3 – 136,8 в₁ + 144,3 в₁ = 552,4

7,5 в₁= 181

в₁ = 2,4

в₀ = 534,3 – 136,8 * 2,4 = 205,7

З = 205,7 + 12,4 У

Проведем расчеты предельного дохода и предельных издержек и приравнивая их к друг другу найдем величину оптимального выпуска продукции.

Представим прибыль в виде линейной зависимости от количества продаваемого товара:

П = ВР – З = У*Ц – в₀- в₁У = У (а₀ + а₁ У) - в₀ - в₁У =

а₀ * У + а₁ У² – в₀ - в_1* У

Далее необходимо определить оптимальный объем продаж У _опт и соответствующую цену единицы продукции Ц _опт, которые обеспечивают максимальную прибыль.

Чтобы определить точку У _опт., в которой функция прибыли достигает максимального значения, нужно взять производную прибыли от объема

( d П / d У ) и приравнять к нулю.

d П / d У = а₀ + 2а₁* У – в₁ =0

Производная от функции прибыли соответствует указанному выражению, т.к. производная от в₀ =0, производная от линейных функций а₀*У и в₁* У соответственно есть постоянные а₀ и в₁, и производная от а₁У² равна 2а₁У.

В нашем случае прибыль представляет собой квадратичную функцию. Коэффициент при а₁ отрицательный. Это означает, что функция прибыли имеет максимум.

в₁ – а₀

У _опт = ----------

2а₁

Согласно функции спроса, цена единицы товара, соответствующая найденному оптимальному объему продаж равна:

Ц _опт = а₀+ а₁ * У _опт

У _опт = ( в₁ – а₀) : 2а₁ = (2,4 – 7,9) : 2* (-0,012) = (- 5,09 ) : (- 0,024) =212 туб.

Соответственно, Ц _{опт =} а₀ + а₁ У _опт =7,49 + (-0,012)* 212 = 4,95 тыс. руб. за тубу.

З _опт = 205,7 + 2,4 * 212 = 714,5 тыс.руб.

Значение оптимального объема продаж на 47% больше объема реализации в ноябре, который будем считать базовым для сравнения. Максимально приближенный к оптимальному объем был достигнут в апреле (176 туб), что составляет 83%. (176: 212). Значение оптимальной цены на 24% ниже цены, установленной в ноябре ОАО «Консервный завод».Сопоставим данные за ноябрь с данными оптимального варианта( см. табл.2)

Таблица 2

Показатели	Данные предельного анализа	Фактические данные за ноябрь	Абсолютное отклонение	Относительное отклонение
Цена 1 тубы в тыс.руб.	4,95	6,51	- 156	-24%
Объем в тубах		144,4	+ 67,6	+47%
Выручка в тыс.руб.	1049,4 (212*4,95)		+109,4	+ 10%
Затраты в тыс.руб.	714,5		+54,5	+8,3%
Прибыль в тыс.руб.	334,9		+54,9	+24%
Рентабельность продаж в %	31,9	29,8	+2,1%	6,5%

Проведенный анализ показал, что у предприятия есть возможность увеличить прибыль на 54,9 тыс. руб. в месяц, что может составить более 650 тыс. руб. в год (658,8 тыс. руб.)

При этом затраты вырастут на 8,3 %.Это создает определенные трудности для предприятия, т.к. оно и так испытывает недостаток оборотных средств.

Но то, что уровень рентабельности продаж достаточно высок позволяет решить проблему финансирования за счет привлечения заемных средств, возможно даже с положительным эффектом финансового рычага.

Несомненным достоинством рассмотренной методики является то, что объем продаж в ней согласован со спросом рынка.