Математические основы дисциплины

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Изучение дисциплины «Методы оптимальных решений в экономике» предназначено для формирования и усвоения знаний и навыков в области применения математических методов к экономической теории и практике, которые необходимы для развития профессиональных качеств, компетенций, являющихся залогом успешного исполнения функциональных обязанностей в сфере экономики. Таким образом, обобщенной целью курса является формирование у студентов системы компетенций, определяющих их индивидуальную способность решения определенного класса профессиональных задач. Компетентностный подход предполагает овладение базовым набором знаний, умений и практических навыков, необходимых для адекватного понимания природы социально-экономических процессов жизни современного общества и для эффективного решения профессиональных задач в области социально-экономической политики на федеральном, региональном и муниципальном уровнях.

Основное внимание при изучении дисциплины «Методы оптимальных решений в экономике» должно уделяться математическим методам анализа социально-экономических явлений и процессов, а также специфике проведения комплексных исследований, принципам формирования и организации основных источников социально-экономической информации.

Поэтому конечная цель изучения данной дисциплины состоит в развитии системного мышления и навыков формализации социально-экономических явлений при постановке и решении экономических задач.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач, которые целесообразно сгруппировать в мировоззренческие, методологические, теоретические, практические задачи. При этом задачи изучения дисциплины раскрываются на основе изложения требований к знаниям, умениям и навыкам, которыми должны овладеть студенты.

Мировоззренческими задачами являются:

- формирование у студентов научного мировоззрения и развитие логического мышления;

- формирование потребностей, мотивов и убеждений в необходимости получения знаний, умений и навыков в области работы с информационными экономическими системами;

- формирование способностей, позволяющих применять полученные знания в различных, в том числе и нестандартных ситуациях;

- получение представления о достаточно полном спектре концепций, подходов, методов современной теории управления и исследования операций;

методологическими задачами являются:

- формирование комплекса компетентностей, применение системного подхода к решению задач профессиональной деятельности с помощью интегрированной системы программ;

- обеспечение необходимого уровня математической подготовки студентов для понимания теоретического базиса дисциплины и его прикладного значения;

- овладение основными понятиями и подходами к формализации социально-экономических явлений и процессов в виде математических моделей, используемых при описании сложных систем и при принятии решений;

- овладение методологией системного анализа экономических ситуаций в целях построения адекватных им моделей и методов, в целях сравнительного анализа моделей и методов, выбора наилучших в рассматриваемой ситуации решений;

к теоретическим задачам можно отнести:

- теоретическое освоение студентами основных положений дисциплины;

- ознакомление студентов с математическими свойствами моделей и методов оптимизации, которые могут использоваться при анализе и решении широкого спектра экономических задач;

практическими задачами являются:

- приобретение практических навыков решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий и положений курса в их взаимосвязи, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования;

- привитие практических навыков в переходе от экономической постановки задачи к математической модели;

- обучение студентов количественному анализу экономических процессов с помощью математических инструментов;

- формирование у студентов навыков обработки данных при исследовании и оптимизации экономических процессов с помощью современных средств компьютерной техники и соответствующего прикладного программного обеспечения;

- формирование умений решения оптимизационных задач в экономике с применением аппарата линейной алгебры, математического анализа и теории вероятностей.

Особенностью курса «Методы оптимальных решений в экономике» является изучение математического аппарата в сочетании с математическими приемами и методами, применяемыми в профессиональной деятельности экономиста.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИСЦИПЛИНЫ

Основой дисциплины «Методы оптимальных решений в экономике» является математическое программирование, которое, в свою очередь, является математической дисциплиной, посвященной теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами)[1].

Формализация хорошо структурированных экономических проблем приводит к задачам математического программирования. Задача математического программирования в общем виде может быть записана так:

(1)

где – вектор переменных величин, соответствующих компонентам альтернативы выбора (плану, стратегии);

, – скалярные функции, представляющие собой формализованные отражение взаимодействия затрат ресурсов на реализацию альтернативы выбора, которой соответствует вектор переменных и присутствующих лимитов на расходы;

и – ограничения задачи, заданные равенствами и неравенствами, соответственно;

– критерий (показатель) эффективности, т.е. количественно заданный признак, в соответствии с которым устанавливается качество выбираемой альтернативы. Таким образом, значения критерия эффективности, рассчитываемые для всех альтернатив, представляют собой числа, сравнивая которые можно установить лучшую (лучшие) альтернативу (альтернативы);

– целевая функция (ЦФ), ставящая в соответствие каждой альтернативе выбора значение ее показателя эффективности. Другими словами, ЦФ представляет собой правило расчета значений показателя эффективности.

Таким образом, задача математического программирования представляет собой формализованную проблему поиска наилучшей в смысле заранее определенного критерия эффективности альтернативы (стратегии, плана), для которой выполнены ограничения по затратам.

Трудности, возникающие при решении задач математического программирования, связаны, в первую очередь, с размерностями задач (количеством переменных) и видами зависимостей, связывающих исследуемые переменные в показатели эффективности и ограничения.

Запись задачи математического программирования в виде (1) принято называть ее стандартной формой. Очевидно, что в результате формализации экономической проблемы может быть получена иная форма задачи математического программирования. Однако используя несложные преобразования, всегда можно привести полученный результат (если это необходимо) к стандартной форме.

В математическом программировании принято выделять следующие разделы.

1. Линейное программирование.

Для задач этого класса предполагается, что целевая функция и все ограничения линейны. Таким образом, задача линейного программирования (ЗЛП) может быть записана в виде:

(2)

2. Нелинейное программирование.

Для задач этого класса предполагается, что или целевая функция и/или функции, задающие ограничения, нелинейные.

3. Квадратичное программирование.

Является частным случаем нелинейного программирования, где предполагается, что целевая функция квадратичная и выпуклая, а ограничения заданы линейными равенствами и/или неравенствами. В общем виде задача квадратичного программирования выглядит как:

(3)

4. Целочисленное программирование.

Здесь исследуемая задача содержит специальное ограничение целочисленности, налагаемое на возможные значения переменных. Это ограничение формально отражает:

- физическую неделимость объектов исследования (например, перевозка грузов заданного фиксированного объема; количество сотрудников, выполняющих определенные виды работ);

- конечность множества допустимых вариантов, на котором производится оптимизация (например, множество известных для выбора альтернатив конечно);

- наличие логических условий, влекущее за собой изменение вида целевой функции и ограничений задачи (например, при планировании распределения финансирования переменная типа «финансировать/нет» формально представляется при помощи индикаторной переменной, принимающей значения «0» или «1»).

Наиболее изученным и распространенным случаем задачи целочисленного программирования (ЗЦП) является задача целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП). В общем виде она может быть записана как:

(4)

5. Стохастическое программирование.

Особенность задач данного класса заключается в том, что оптимальное решение ищется в условиях неполной определенности о целях и ограничениях задачи. Например, задача стохастического линейного программирования отличается от задачи (2) тем, что либо все величины , , , либо часть из них – случайны. В этом случае следует задать систему определяющих их отношений: распределения (законы распределения случайной величины), моменты распределения и т.д.

6. Динамическое программирование.

К данному классу относят задачи поиска оптимального управления для многошаговых процессов. Основная идея подобных задач состоит в следующем. Пусть процесс управления некоторой системой состоит из n этапов (шагов). Для каждого шага состояние системы описывается при помощи переменной , . Принятие решения на i-м шаге характеризуется при помощи управляющей переменной (i-й компоненты управления) , переводящей систему из состояния в состояние . Процесс перехода осуществляет заданная функция и, таким образом, новое состояние системы определяется из текущего состояния и i-й компоненты управления как .

Одна из возможных экстремальных задач может выглядеть следующим образом. Пусть начальное состояние системы известно и задано как . Требуется определить такое управление , чтобы система перешла в допустимое конечное состояние и при этом заданная целевая функция достигла максимального значения .

1) Выявить все рычаги воздействия на систему, способные повлиять на эффективность ее работы, и поставить каждому из них в соответствие переменную , называемую управляющей переменной. Количество n управляющих переменных определяет размерность пространства управлений. Точки этого пространства с координатами называются управлениями.

2) Описать ограничения, налагающиеся на значения, которые могут принимать управляющие переменные задачи. Эти ограничения могут иметь вид неравенств или уравнений . Однако любое уравнение эквивалентно системе двух неравенств , так что зачастую ограничения в форме равенств не рассматриваются. Система ограничений определяет множество допустимых управлений, т.е. множество точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют всем указанным неравенствам.

3) Поставить в соответствие каждому управлению значение показателя эффективности , т.е. построить целевую функцию задачи . В зависимости от экономического смысла показателя необходимо искать либо наибольшее, либо наименьшее значение этой функции на множестве допустимых управлений.

В настоящее время существует множество прикладных программных компонентов и сред для решения оптимизационных задач. Одним из таких средств является надстройка MS Excel «Поиск решения», которая позволяет решать задачи нахождения наибольших и наименьших значений, а также решать уравнения.