Лекция № 7. Тема: «Основы гидродинамики»

При установившемся движении навязкой жидкости на ее элементарный объем кроме внешних массовых сил и сил давления действуют еще силы инерции, обусловленные изменением скорости вдоль потока. Взяв за основу дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера и прибавив к ним с обратным знаком (принцип Даламбера) проекции сил инерции, отнесенные к единице массы , получим дифференциальные уравнения движения Эйлера:

(7.1)

Эти уравнения справедливы как для капельных жидкостей, так и для газов. Умножив каждое уравнение системы (7.1) соответственно на приращение координат dx, dy, dz и погленно сложив, а затем полученное уравнение умножив на массу получим уравнение баланса энергии для невязкой жидкости

(7.2)

В уравнение (7.2) входят величина перемещающейся массы m, которая может быть различной. Для получения общего выражения, независящего от значения массы, полный запас энергии относят к единице массы, объема или силы тяжести.

Энергия, отнесенная к единице массы, называется удельной энергией l и широко используется при исследовании движения газов с переменной плотностью. Для получения удельной энергии разделим уравнение (7.2) на массу m:

(е=м²/с²) (7.3)

Исследуя движение газов, при котором можно считать , удобно пользоваться энергией, отнесенной к единице объема, для этого уравнение (7.2) необходимо разделить на объем V, и тогда получаем

(Р=П₀). (7.4)

Наиболее широко в гидравлике, особенно при исследовании движения капельных жидкостей, пользуются энергией, отнесенной к единице силы тяжести, для чего уравнение (7.2) необходимо разделить на mg. Тогда

(H=м). (7.5)

Все члены уравнения имеют размерность длины Н, называемой в гидравлике напором, единица которого в систем . Напор выражается высотой в метрах столба движущейся жидкости.

Рисунок 7.1. К выводу уравнения Бернулли

Рассматривая элементарную струйку жидкости при установившимся движении, происходящем в поле потенциальных сил (тяжести и давления), можно проинтегрировать уравнения (7.2) – (7.5). В прямоугольной системе координат ориентируем плоскость хОу горизонтально, нормально к ускорению силы тяжести g (рис.7.1). Любая горизонтальная плоскость, относительно которой составляется уравнение движения, называется плоскостью сравнения (плоскость отчета). В частности, ею является горизонтальная плоскость хОу. В этих условиях проекции единичных массовых сил будут: F_x=0; F_y=0; F_z= -g. Подставляя их значения в уравнения (7.3) – (7.5) и учитывая, что во всех точках живого сечения элементарной струйки частицы двигаются с одинаковой скоростью U, получим после интегрирования:

(7.6)

(7.7)

(7.8)

Уравнения (7.6) – (7.8) являются основными при решении многих задач механики жидкости и газа. Они представляют математическое выражение закона сохранения энергии вдоль элементарной струйки. Члены уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости выражают запас энергии, которой обладает единица массы (7.6), объема (7.7) или силы тяжести (7.8) относительно плоскости сравнения.

Основным уравнением гидродинамики, применяемых в гидравлических расчетах потока реальной жидкости при установившемся движении, является уравнение Бернулли:

, (7.9)

где Z – геометрический напор – возвышение центра тяжести живого сечения над плоскостью сравнения (в энергетическом отношении – это удельная, отнесенная к единице веса жидкости, потенциальная энергия положения); - пьезометрический напор, т.е. превышение уровня жидкости в пьезометре над точкой, аппликата которой Z (удельная потенциальная энергия давления); (Z + ) – превышение уровня жидкости в пьезометре над плоскостью сравнения, т.е. статический напор (полная удельная потенциальная энергия); - скоростной напор (удельная кинетическая энергия); α – коэффициент неравномерности распределения скоростей по сечению потока (коэффициент Кориолиса), отношение действительного скоростного напора к скоростному напору, определенный по средней скорости ; Z + + - полный напор (полная удельная механическая энергия); Н_{п –} количество удельной механической энергии, которую жидкость теряет при преодолении гидравлических сопротивлений на пути между сечениями 1 и 2. Эта часть механической энергии в результате работы сил трения переходит в тепловую энергию и рассеивается в пространстве. Эти потери механической энергии называются гидравлическими потерями.

Физический смысл уравнения Бернулли: при установившемся движении жидкости сумма трех удельных энергии остается неизменной вдоль потока и равной общему запасу удельной энергии. Уравнение Бернулли можно выразить и в следующем виде, где все члены представляют собой энергию, отнесенную к единице объема

. (7.10)

При решении практических задач для установившегося движения несжимаемой жидкости вместе с уравнением Бернулли применяется и уравнение постоянства объемного расхода (19).

Литература: 4 осн. [46 – 57]; 6 доп. [37 – 48]; 1 осн. [76 – 110].

Контрольные вопросы

1. Напишите дифференциальное уравнение баланса энергии для невязкой жидкости и проведите энергетический анализ членов этого уравнения;

2. Что такое плоскость сравнения и какие требования предъявляемые к ней?

3. Каковы физический, энергетический и гидравлический (геометрический) смыслы уравнения Бернулли?