Одновременный синтез регулятора с наблюдателем состояния по результатам измерений

Задачи синтеза регулятора в виде обратной связи по состоянию (теорема 3) и синтеза наблюдателя (теорема 4) могут быть решены одновременно путем решения задачи оптимизации следов матриц предельных инвариантных эллипсоидов, ограничивающих выход для исходной системы с неопределенными возмущениями и ошибки оценивания. Данная задача решается как задача оптимизации с линейными матричными неравенствами. Текст программы для одновременного синтеза регулятора с наблюдателем для исходной автономной системы представлен ниже (Prrim_mayatnik_.m).

% Синтез регулятора по выходу с наблюдателем состояния для линеаризованной % системы на основе решения ЛМН

step1 = 0.05;

step2 = step1;

begin_val1 = 0.15;

end_val1 = 0.25;

begin_val2 = 0.4;%

end_val2 = 0.6;

min_tr_Z = 1000000;

figure (4)

% Оптимизация по параметрам q1 и q2 путем перебора с уменьшающимся шагом

while ((step1+step2)>0.05)

for q1 = begin_val1:step1:end_val1

for q2 = begin_val2:step2:end_val2

cvx_begin sdp

variable Qs1(n1, n1) symmetric;

variable Ys(1, n1) ;

variable Zs(1,1) symmetric;

variable Qs(n1, n1) symmetric;

variable Ps(n1, n1) symmetric;

variable YLs(n1, 1) ;

minimize( trace(C*Qs*C'+C*Qs1*C'+C*Ys'*B2'+B2*Ys*C'+B2*Zs*B2'))

subject to

Qs1>=eye(2)*1e-3;

[A*Qs1 + Qs1*A'+B1*Ys+Ys'*B1'+q0*Qs1 D;

D' -q0*eye(l)]< 0; %условие асимптотич устойчивости

[Zs Ys;

Ys' Qs1]>=0;

[A'*Ps + Ps*A-YLs*Cy-Cy'*YLs'+(q1+q2)*Ps Ps*D YLs;

D'*Ps -q1 0;

YLs' 0 -q2*R2_1]< 0; %условие асимптотич устойчивости

Qs >= eye(2)*1e-8;

[Qs eye(1.2);

eye(1.2) Ps]>=0.0;%eye(1.4)*1e-5;

cvx_end

Qsf = double(Qs)

Qsf1 = double(Qs1)

Psf = double(Ps)

Y=double(Ys);

Z=double(Zs);

YL=double(YLs);

K=Y/Qsf1;

L=Qsf*YL;

trZ=trace(C*(Qsf+Qsf1)*C'+C*Y'*B2'+B2*Y*C'+B2*Z*B2');

if min_tr_Z > trZ

min_tr_Z = trZ

Q_min = Qsf;

Q_min1 = Qsf1;

P_min = Psf;

L_min=L;

K_min=K;

q_min1 = q1

q_min2 = q2

end;

end;

step1= step1*0.5;

begin_val1 = q_min1-2*step;

end_val1 = q_min1+2*step;

end;

step2= step2*0.5;

begin_val2 = q_min2-2*step;

end_val2 = q_min2+2*step;

end;

Qsf2=Q_min1;

QL2=Q_min

PL2=P_min

L2=L_min;

K2=K_min;

q11=q_min1;

q12=q_min2;

AL2=A-L2*Cy;

eig(AL2)

ABK2=A+B1*K2;

eig(ABK2)

figure (8)

E = ellipsoid(QL);

%pEs = projection(E, BB);

plot(E, 'r');grid on;hold on;

При тех же параметрах q₀=3.5969, q₁ =0.25 q₂ =0.6 получены коэффициенты регулятора K₂ и наблюдателя L₂, которые совпадают соответственно с K₁ и L₁. На рисунке 2.5 представлены переходные процессы в исходной системе с регулятором по выходу наблюдателя с полученными коэффициентами K₂ и L₂. На рисунке 2.6 показаны переходные процессы в исходной системе с регулятором по состоянию наблюдателя коэффициенты которого зависят от частного решения матричной системы сравнения (2.5) и определяются по соотношению (2.10).

Рисунок 2.5. Переходные процессы в исходной системе (синий и красный) с регулятором по состоянию наблюдателя и наблюдателе (черный и зеленый) при действии возмущений и погрешностей измерений

Рисунок 2.6. Переходные процессы в исходной системе (синий и красный) с регулятором по состоянию наблюдателя и наблюдателе (черный и зеленый), с зависимыми от частного решения МСС коэффициентами

Как видно из рисунков 2.5,2.6 при использовании для восстановления вектора состояния наблюдателя с зависимыми от частного решения матричной системы сравнения коэффициентами, регулятор по состоянию наблюдателя обеспечивает такую же точность стабилизации при действии возмущений при меньшем перерегулировании и за меньшее время.

Пример решения задач оценивания состояния и синтеза управления в виде обратной связи по состоянию и по выходу (по состоянию наблюдателя) для простейшей системы с неопределенными нелинейностями и возмущениями

Постановка задачи

Рассматривается динамическая система, представленная следующей моделью в пространстве состояний в непрерывном случае

(3.1)

где - вектор состояния, - входное возмущение, - вектор управляемого выхода, - известные матрицы с непрерывными и ограниченными элементами при всех , T>t₀ заданная константа (при рассмотрении на конечном интервале) или T=¥ (при рассмотрении на бесконечном интервале).

Нелинейная векторная функция удовлетворяет коническому (обобщенному секторному) условию, заданному в виде:

(3.2)

где - известные матрица с непрерывными и ограниченными элементами при всех . Здесь как и раньше означает евклидову норму вектора, - заданные параметры.

Предположим также, что для внешних возмущений, являющихся непрерывными функциями, выполняется ограничение (1.5).

Предполагается, что пара (A(t),D(t)) –управляема, а матрица C(t) является матрицей полного ранга строк.

Требуется на заданном интервале времени получить эллипсоидальную оценку множества состояний для процессов системы (3.1), начинающихся из заданного эллипсоида при нелинейностях, удовлетворяющих (3.2) и неопределенных возмущениях из (1.5). Кроме того задача состоит в синтезе закона управления в виде обратной связи по состоянию (1.6) или по выходу ( по состоянию наблюдателя), стабилизирующего замкнутую систему и подавляющего начальные отклонения и воздействие внешних возмущений в смысле минимальности ограничивающего эллипсоида для выхода z при любой нелинейности из (3.2).