Свойства решений матричных игр

Обозначим через G (Х,Y,А) игру двух лиц с нулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает стратегию х Î Х, игрок 2 – y Î U, после чего игрок 1 получает выигрыш А = А (х, y) за счёт игрока 2.

Определение. Стратегия х¹ игрока 1 доминирует (строго доминирует) над стратегией х², если

А (х¹, y) ³ А (х², y)(А (х¹, y) > А (х², y)), y Î U.

Стратегия y¹ игрока 2 доминирует (строго доминирует) над стратегией y², если

А (х, y¹) £ А (х, y²)(А (х, y¹) < А (х, y²)), х Î Х.

При этом стратегии х² и y² называются доминируемыми (строго доминируемыми).

Спектром смешанной стратегии игрока в конечной антагонистической игре называется множество всех его чистых стратегий, вероятность которых согласно этой стратегии положительна.

Свойство 1. Если чистая стратегия одного из игроков содержится в спектре некоторой его оптимальной стратегии, то выигрыш этого игрока в ситуации, образованной данной чистой стратегией и любой оптимальной стратегией другого игрока, равен значению конечной антагонистической игры.

Свойство 2. Ни одна строго доминируемая чистая стратегия игрока не содержится в спектре его оптимальной стратегии.

Игра G¢ = (Х¢,Y¢,А¢) называется подыгрой игры G (Х,Y,А), если Х¢Ì Х, U¢Ì U, а матрица А¢ является подматрицей матрицы А. Матрица А¢ при этом строится следующим образом. В матрице А остаются строки и столбцы, соответствующие стратегиям Х¢ и U¢, а остальные “вычеркиваются”. Всё то что “останется” после этого в матрице А и будет матрицей А¢.

Свойство 3. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая игра, G¢ = (Х \ х¢,Y,А) – подыгра игры G, а х¢ – чистая стратегия игрока 1 в игре G, доминируемая некоторой стратегией , спектр которой не содержит х¢. Тогда всякое решение (х^о, y^о, u) игры G¢ является решением игры G.

Свойство 4. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая игра, G¢ = (Х,Y \ y¢,А) – подыгра игры G, а y¢ – чистая стратегия игрока 2 в игре G, доминируемая некоторой стратегией , спектр которой не содержит y¢.Тогда всякое решение игры G¢ является решением G.

Свойство 5. Если для чистой стратегии х¢ игрока 1 выполнены условия свойства 3, а для чистой стратегии y¢ игрока 2 выполнены условия свойства 4, то всякое решение игры G¢ = (Х \ х¢,Y \ y¢,А) является решением игры G = (Х,Y,А).

Свойство 6. Тройка (х^о, y^о, u) является решением игры G = (Х,Y,А) тогда и только тогда, когда (х^о, y^о, кu +а) является решением игры G(Х,Y,кА+а), где а – любое вещественное число, к > 0.

Свойство 7. Для того, чтобы х^о = ( ) была оптимальной смешанной стратегией матричной игры с матрицей А и ценой игры u, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств

(j = )

Аналогично для игрока 2 : чтобы y^о = ( , ..., , ..., ) была оптимальной смешанной стратегией игрока 2 необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

(i = )

Из последнего свойства вытекает: чтобы установить, является ли предполагаемые (х, y) и u решением матричной игры, достаточно проверить, удовлетворяют ли они неравенствам (*) и (**). С другой стороны, найдя неотрицательные решения неравенств (*) и (**) совместно со следующими уравнениями

,

получим решение матричной игры.

Таким образом, решение матричной игры сводится к нахождению неотрицательных параметров решений линейных неравенств (*) (**) и линейных уравнений (***). Однако это требует большого объёма вычислений, которое растёт с увеличением числа чистых стратегий игроков. (Например для матрицы 3 3 имеем систему из 6 неравенств и 2 уравнений). Поэтому в первую очередь следует, по возможности используя свойства 2 и 3, уменьшить число чистых стратегий игроков. Затем следует во всех случаях проверить выполнение неравенства

= .

Если оно выполняется, то игроки имеют чистые оптимальные стратегии (игрок 1 – чистую максиминная, а игрок 2 – чистую минимаксная). В противном случае хотя бы у одного игрока оптимальные стратегии будут смешанные. Для матричных игр небольшого размера эти решения можно найти, применяя свойства 1 – 5.

Замечание. Отметим, что исключение доминируемых (не строго) стратегий может привести к потере некоторых решений. Если же исключаются только строго доминируемые стратегии, то множество решений игры не изменится.

Пример 3. Пусть G = (Х,Y,А), где Х = {1, 2, 3, 4}; Y = {1, 2, 3, 4}, а функция выигрыша А задана следующим образом :

где С > 0.

Решение. Прежде всего заметим, что по свойству 6 достаточно решить игру G¹ = (Х,Y,А), где А¹ = А В матричной форме игра G¹ определяется матрицей выигрышей

Элементы четвёртой строки этой матрицы “ £ ” соответствующих элементов третьей строки и поэтому третья стратегия игрока 1 доминирует над четвёртой. Кроме того, элементы первого столбца матрицы А¹ “ ³ ” соответствующих элементов второго столбца, Следовательно, вторая стратегия игрока 2 доминирует над его первой стратегией.

Далее, из свойства 5 следует, что всякое решение игры G² = (Х \ {4}, Y \ {1}, А¹) является решением игры G¹. В матричной форме игру G² можно представить матрицей

.

Очевидно, что элементы второй строки “ ³” полусуммы соответствующих элементов первой и третьей строк. Кроме того, элементы третьего столбца матрицы А² “ ³“ соответствующих элементов второго столбца. Применяя свойство 5 получим, что всякое решение игры G³ = (Х \ {4,2}, Y \ {1,4}, А²) является решением игры G², а следовательно и игры G¹. Игра G³ определяется матрицей

.

Матрица А³ не имеет седловой точки, т.к. не выполнено равенство

= ,

а игра G³ не имеет решения в чистых стратегиях, т.е. оптимальные стратегии игроков являются смешанными. Эти стратегии (в данном случае) легко найти из анализа структуры матрицы А³. Поскольку матрица А³ симметрична, можно предположить, что игроки в оптимальной стратегии используют свои чистые стратегии с равными вероятностями.

Действительно, если игрок 1 выбирает с равными вероятностями стратегии 1 и 3, то при применении любой из двух чистых стратегий игроком 2 математическое ожидание выигрыша игрока 1 будет равным либо

,

либо

.

Аналогично, если игрок 2 использует свои чистые стратегии 2 и 3 с равными вероятностями, то математическое ожидание его проигрыша будет равно . Следовательно, указанные стратегии являются оптимальными в игре G³, а величины – значением игры G³. Из предыдущего следует, что эти стратегии оптимальны и в G¹.

Таким образом, стратегия Х = ( , 0, , 0) является оптимальной стратегией игрока 1, стратегия Y = (0, , , 0) – оптимальной стратегией игрока 2 в игре G¹, а значение игры G¹ равно . В силу свойства 4 решением игры G будет тройка (Х,Y, ).

ИГРЫ ПОРЯДКА 2 х2.

В общем случае игра 2 2 определяется матрицей

Прежде всего необходимо проверить, есть ли у данной игры седловая точка. Если да, то игра имеет решение в чистых стратегиях, причём оптимальными стратегиями игроков 1 и 2 соответственно будут чистая максиминная и чистая минимаксная стратегии. Если же игра с матрицей выигрышей А не имеет чистых стратегий, то оба игрока имеют только такие оптимальные стратегии, которые используют все свои чистые стратегии с положительными вероятностями. В противном случае один из игроков (например 1) имеет чистую оптимальную стратегию, а другой – только смешанные. Не ограничивая общности, можно считать, что оптимальной стратегией игрока 1 является выбор с вероятностью 1 первой строки. Далее, по свойству 1 следует, что а₁₁ = а₁₂ = u и матрица имеет вид

.

Легко видеть, что для матриц такого вида одна из стратегий игрока 2 является доминируемой. Следовательно, по свойству 4 этот игрок имеет чистую стратегию, что противоречит предположению.

Пусть Х = (x, 1 - x) – оптимальная стратегия игрока 1. Так как игрок 2 имеет смешанную оптимальную стратегию, из свойства 1 получим, что (см. также свойство 7)

Отсюда следует, что при u ¹ 0 столбцы матрицы А не могут быть пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, отличным от единицы. Если же коэффициент пропорциональности равен единице, то матрица А принимает вид

и игрок 1 имеет чистую оптимальную стратегию (он выбирает с вероятностью 1 ту из строк, элементы которой не меньше соответствующих элементов другой), что противоречит предположению. Следовательно, если u ¹ 0 и игроки имеют только смешанные оптимальные стратегии, то определитель матрицы А отличен от нуля. Из этого следует, что последняя система уравнений имеет единственное решение. Решая её, находим

;

.

Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что оптимальная стратегия игрока 2 Y = (h, 1 - h) удовлетворяет системе уравнений

откуда

.