Решение типовой задачи МОБ
3-х отраслевая экономическая система задана матрицей коэффициентов прямых затрат А и вектором конечной продукции Y:
, .
Найти:
1) коэффициенты полных затрат: В = (bij) = (b1, b2, b3);
2) плановые объемы валовой продукции: Х = (xi) = (x1, x2, x3);
3) величину межотраслевых потоков средств производства, т.е. значения xij, i=1, 2, 3; j = 1, 2, 3;
4) объемы условно-чистой продукции zj;
5) матрицу косвенных затрат С =(сij) = B - A - E.
6) По заданному вектору увеличения выпуска конечной продукции ΔY=(Δy1,Δy2,Δy3)=(20, 10, 5) определить изменение плана производства валовой продукции ΔX.
Результаты вычислений п.п. 1-4 представить в форме МОБ.
Решение
Используем уравнения МОБ
в развернутом виде:
в матричном виде: X = (E - A)-1 · Y = B Y.
1) Находим матрицу полных затрат В = (E - A)-1:
E - A = ;
Обращаем матрицу E - A, т.е. найдем В = (E - A)-1.
Вычисляем определитель Δ=|E - A|= 0,511.
Так как Δ≠0, то существует матрица В = (E - A)-1, обратная заданной матрице E-A.
Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы K = E - A:
; ;
;
;
;
.
Составляем матрицу из алгебраических дополнений:
.
Транспонируем эту матрицу (получим приведенную матрицу) и делим ее на определитель Δ=0,511; в результате получаем обратную матрицу В = (E - A)-1:
В = (E - A)-1 = .
Таким образом, матрица коэффициентов полных затрат
В = (E - A)-1 = .
2) Находим объемы производства отраслей (валовая продукция):
X = B Y = .
Следовательно, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции, равны:
х1=102,197; х2=41,047; х3=26,383.
3) Рассчитываем значения межотраслевых потоков xij=aij· xj:
x11=0,3·102,2=30,7; x12=0,25·41,0=10,2; x13=0,2·26,4=5,3;
x21=0,15·102,2=15,3; x22=0,12·41,0=4,9; x23=0,03·26,4=0,8;
x31=0,1·102,2=10,2; x32=0,05·41,0=2,1; x33=0,08·26,4=2,1.
4) Результаты вычислений представим в форме МОБ. Величина условно-чистой продукции zj определяется как разница между валовой продукцией отрасли xj и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце:
.
Потребляющие отрасли (j) Производящие отрасли (i) | Конечный продукт yi | Валовой продукт xi | |||
30,7 | 10,2 | 5,3 | 102,2 | ||
15,3 | 4,9 | 0,8 | 41,0 | ||
10,2 | 2,1 | 2,1 | 26,4 | ||
Условно-чистый продукт zj | 46,0 | 23,8 | 18,2 | ||
Валовой продукт xj | 102,2 | 41,0 | 26,4 | 169,6 |
Таким образом, на основе заданных матриц по уровню конечного продукта Y и коэффициентов прямых затрат A получен полностью сбалансированный план общего производства продукции и ее распределения в качестве средств производства между отраслями и в качестве продукции для конечного использования.
5) Найдем матрицу косвенных затрат по формуле: С = (сij) = B - A - E = =
6) Определяем изменение плана ΔX, которое потребуется при увеличении выпуска конечной продукции 1-й отрасли на 20 ед., 2-й – на 10 ед. и 3-й – на 5 ед.
ΔX = B ΔY =
Следовательно, потребуется увеличить выпуск валовой продукции 1-й отрасли на Δx1=38,1 ед., 2-й отрасли – на Δx2=18,2 ед., 3-й отрасли – на 10,6 ед.