Физическая и математическая модели неустановившегося движения судна

Нижегородский Государственный Технический

Университет им. Р.Е. Алексеева

Кафедра «Прикладная математика»

Курсовая работа по информатике

«Задача динамики разгона (торможения) судна»

Выполнил:

студент группы 10-ЛА-2

Кудрявцев Д.А.

Проверила:

Осепенко Н.Н.

Нижний Новгород 2011г.

Нижегородский Государственный Политехнический Университет

Кафедра «Прикладная математика»

Курсовая работа по информатике

«Задача динамики разгона (торможения) судна»

Выполнил:

студент 2 курса

Кудрявцев Д.А.

Проверила:

Осепенко Н.Н.

Нижний Новгород 2011 г.

Постановка задачи и ее математическая модель

Общая задача описания динамики разгона (торможения) судна

Из курса теоретической механики известно, что в соответствии с принци­пом Даламбера неустановившееся движение тела описывается вторым законом Нью­тона. Поскольку в данной задаче рассчитывается движение лишь в направлении одной из осей координат, то достаточно записать уравнения движения в проек­ции на ось X и решать его относительно скорости V и пройденного по этой ко­ординате пути S.

Физическая и математическая модели неустановившегося движения судна

Основным уравнением задачи в этом случае является уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось координат X.

; (1)

здесь т - масса тела (судна), - ускорение судна, F - сумма всех сил, действующих на судно, в проекции на ось X.

Равнодействующая сила F складывается из двух сил: R - сопротивления воды движению судна, Т- тяги движителя (как правило, гребного винта).

Из физических соображений понятно, что сопротивление R зависит от ско­рости движения (чем больше скорость V, тем больше сопротивление R) и на­правлено против скорости V, т.е. в отрицательном направлении оси X. При ре­шении задач необходимо учитывать, что во время стоянки судна V= 0 и R(V)= 0.

Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости движения судна, но действует в противоположном силе сопротивления R направлении, т.е. направлена в положительном направлении оси X. С учетом сказанного уравнение (1) можно записать в виде

; (2)

Таким образом, получено обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го по­рядка относительно скорости движения судна V.

Для определения пройденного за время разгона пути S к уравнению (2)

необходимо добавить уравнение , являющееся определением понятия «скорость».

Математическая модель задачи записывается в виде системы из двух диффе­ренциальных уравнений 1-го порядка в каноническом виде:

; (3)

Здесь функции R(V) и T(V) являются заданными и находятся по испыта­ниям моделей судна и гребного винта. Как правило, эти функции задаются либо графически, либо таблично. На рисунке 1 представлены типичные кривые функций R(V) и T(V). Точка их пересечения является скоростью постоянного движения.

Рис. 1. Типичные кривые функций R(V) и T(V)

Для решения системы уравнений (3) необходимо задать начальные усло­вия. Обычно они задаются в виде t=0, V=0 или V=Vn.