Пространственная неоднозначность

При исследовании плоскости (f, k) обсуждалась пространственная неоднозначность. Она оказывает сильное влияние на производительность многоканальных процессов, таких как пространственная фильтрация (Раздел 1.6.2) и миграция (Раздел 4.3.5). Вследствие пространственной неоднозначности эти процессы могут воспринимать сигналы с большими наклонами при высоких частотах не такими, какими они являются на самом деле (например, наклоны 15мс на трассу на рис.1-68 – 1-70). Следовательно, они не обрабатываются надлежащим образом. Например, миграция смещает пространственно неоднозначные частоты в неправильном направлении и формирует рассеивающие помехи, что ухудшает качество мигрированного разреза. Эта проблема рассмотрена в Разделе 4.3.

Как избежать пространственной неоднозначности? Сравним модели на рис.1-72 и 1-73. Обе модели имеют один и тот же частотный состав, 6-42Гц. Данные на рис.1-73 являются пространственно неоднозначными, т.к. наклон сигнала больше, чем на рис.1-72. Некоторые приемы, которые позволяют избежать пространственной неоднозначности:

1. 1. Примените временные сдвиги так, чтобы сигнал с сильным наклоном выглядел как сигнал с малым наклоном. Это, может изменить незначительные наклоны до больших, сделав их пространственно неоднозначными. Все же это дает приемлемое решение в определенных ситуациях.

2. 2. Если к трассе на рис.1-73 был применен ФНЧ, так что частоты до 21Гц сохранились, участок, который переходит в отрицательный квадрант амплитудного спектра, будет удален. С одной стороны, устранена пространственная неоднозначность, с другой – потеряна значительная часть зарегистрированной полосы частот. Следовательно, этот подход нежелателен.

3. 3. На рис.1-77 показан один наклонный сигнал, зарегистрированный при трех различных интервалах между трассами. Амплитудные спектры предлагают третий подход к решению задачи пространственной неоднозначности. Чем больше шаг между трассами, тем больше частот являются пространственно неоднозначными. Во всех трех случаях используется одна и та же ширина полосы пропускания. Шаг между трассами 12.5м обеспечивает полосу частот, свободную от пространственной неоднозначности. При 25-метровом шаге частоты выше 36Гц являются пространственно неоднозначными, а при 50-метровом шаге таковыми являются частоты более 19Гц. В этом последнем случае пространственная неоднородность является настолько жесткой, что зеркальные частоты дважды оборачиваются вокруг оси волновых чисел. Отсюда мы видим, что пространственной неоднозначности можно избежать выбрав достаточно малый шаг между трассами. Этот подход требует смены интерполяции, зависящей от данных для формирования избыточных трасс или модифицирования регистрирующей расстановки. В последнем случае требуется больше ПВ и/или регистрирующих каналов.

Рис.1-74 Шесть сигналов с одним и тем же наклоном попадают на одну и ту же радиальную линию в области (f, k). Пространственно неопределенные частоты отсутствуют. Наклон этих сигналов такой же, как у одного сигнала на рис.1-72. Чем отличается этот спектр от спектра на рис.1-72?

Рис.1-75 Шесть сигналов с одним и тем же наклоном попадают на одну и ту же радиальную линию в области (f, k). Частоты более 21Гц являются неоднозначными. Наклон этих сигналов такой же, как у одного сигнала на рис.1-73.

Рис.1-76 Расчет преобразования Фурье

Рис.1-77 Отдельный наклонный сигнал, зарегистрированный при трех различных шагах между трассами с соответствующими f-k спектрами. При шаге 12.5м пространственная неоднозначность не возникает (слева). При шаге 25 м частоты выше 36Гц являются неоднозначными (в середине). При шаге 50 м имеет место двойная неоднозначность (справа). Хотя сигналы на f-k спектрах выглядит как характеризующиеся различными наклонами, на выборках (t, x) (вверху) наклон одинаков. Причина такого обманчивого характера заключается в различных горизонтальных масштабах, используемых для отображения f-k спектров.

Рис.1-78 Разрез с нулевым выносом (256 трасс с шагом 25 м), содержащий 10 наклонных сигналов и его двумерный амплитудный спектр. Неоднозначные частоты отсутствуют.

По этой причине рассматривается только синтез одного наклонного сигнала из дискретного количества частотных составляющих. Распространим анализ на ряд наклонов. На рис.1-78 показан разрез с наклонами от 0 до 45° и двумерный соответствующий амплитудный спектр. Эти же наклоны, но с более высокочастотными составляющими показаны на рис.1-79. Сигналы с наклонами 0-, 5-, 10-, 15° не являются пространственно неоднозначными. При 20-градусном наклоне неоднозначность появляется около 72Гц, при наклоне 30° - около 48Гц и при наклоне 45° - около 36Гц. Чем больше наклон, тем ниже частота, при которой появляется пространственная неоднозначность.

Какова максимальная частота без неоднозначности или данном наклоне? Рассмотрим сигнал с наклоном 20° (рис.1-79). Сначала измерим наклон в мс на трассу. В модели (t, x) – 256 трасс с шагом 25м. Наклон 20° эквивалентен 7мс на трассу. Частотные составляющие, с периодами менее двойной величины наклона, являются пространственно неоднозначными. Следовательно, при данном наклоне в мс на трассу пороговая частота, при которой начинается пространственная неоднозначность, равна 500 на наклон, выраженный в мс на трассу. В нашем случае пороговая частота равна 500/7 = 72Гц. Это можно проверить путем исследования амплитудного спектра на рис.1-79. Вывод уравнения пороговой частоты рассмотрен в Разделе 4.3.5.

Рис.1-79 Разрез с нулевым выносом (256 трасса с шагом 25м), содержащий 10 наклонных сигналов, и его двумерный амплитудный спектр. Более сильные наклоны дают неоднозначность при снижении частот.

Рис.1-80 Три выборки ОПВ (вверху) и их f-k-спектры (внизу). Буквенные обозначения приведены в тексте. Сигнал попадает на квадрант, соответствующий положительному наклону на f-k-спектре, если он попадает в сторону дальних выносов. (Данные Deminex Petroleum).

На рис.1-80 показаны 3 полевых рекорда и их двумерные спектры, известные как f-k-спектры. Сейчас несложно распознать и соотнести различные события на выборках ОПВ с событиями на f-k-спектрах. Событие А– это высокоамплитудная когерентная помеха с очень низкой групповой скоростью. При увеличении пространственной протяженности этих волн ширина полосы пропускания в направлении волнового числа сужается. Напротив, если пространственная протяженность уменьшается, событие, такое как G, занимает более широкую полосу волновых чисел на графике f-k (сравните событие G и F). События В и С являются частями пакета канальных волн. Событие С содержит наложенную энергию выше 42Гц (на графике f-k обозначена D. Первичные отражения и ассоциированные кратные отражения попадают в участок Е между осью частот и событием С.

1.6.2 Пространственная f-k-фильтрация

Сигналы, наклоненные в плоскости (t, x), могут быть разделены в плоскости (f, k) по величинам наклона. Это позволяет устранить из данных некоторые типы ненужной энергии. В частности, это когерентные линейные помехи в форме поверхностной волны, канальные волны, энергия, рассеянная в боковом направлении, скрывающая истинные отражения, которые могут присутствовать в зарегистрированных данных. Обычно эти типы помех изолированы от энергии отраженных волн в пространстве (f, k). Из полевого рекорда на рис.1-81а видно, как энергия поверхностной волны может преобладать над данными. Это исследование зависимости помех от удаления от ПВ, которое состоит из 6 рекордов. Поверхностная волна представляет собой тип рассеивающей формы волны, которая распространяется по поверхности и по своему характеру является низкочастотной и высокоамплитудной. Обычно поверхностная волна подавляется в полевых условиях с помощью расстановки сейсмоприемников.

На рис.1-81b представлен двумерный амплитудный спектр составной выборки ОПВ на рис.1-81а. Здесь различные типы энергии изолированы один от другого. Можно различить поверхностную волну А, ее составляющую В, рассеянную в обратном направлении, и канальные волны С. Отражения D расположены около оси частот. Как показано на рис.1-81с, на спектре имеется область в виде конуса, внутри которой нежелательная энергия обнулена. Результирующая составная выборка ОПВ на рис.1.-81d, по существу, свободна от энергии поверхностной волны; исключение составляет компоненты, рассеянная в обратном направлении. Обнуление конусообразной зоны в пространстве (f, k) – это одна из реализаций процесса, известного под названием пространственной f-k-фильтрации. На рис.1-82 показаны шаги, составляющие этот процесс.

Практические проблемы, ассоциированные с двумерным преобразованием Фурье и выбором зоны подавления перечислены ниже:

1. 1. Общепринятая реализация преобразования Фурье сама по себе формирует wraparound помеху. Это показано на рис.1-81d, изображение F. Чтобы избежать этой проблемы, необходимо распространить данные за пределы пространственно и временной осей путем заполнения нулями. Размер входной выборки обычно умножается на коэффициент 4, что эквивалентно удваиванию длины по t и по x. При этом возрастает стоимость, но устраняются эффекты wraparound.

2. 2. Конус (зона подавления) не должен быть слишком узким. Это следует из предыдущего рассмотрения одномерного анализа Фурье частотных фильтров. При малой ширине зона подавления отклик (t, x) пространственного фильтра будет содержать длинный ряд нулевых элементов. Благоприятным обстоятельством является то, что когерентные помехи с большой разностью времен вступления (например, поверхностна волна) часто изолируется в пространстве (f, k) от зоны, которая включает отраженный сигнал. Это можно показать на примере (см. рис.1-81b). В этих случаях энергия поверхностной волны А подавляется без нарушения отраженного сигнала с помощью широкой зоны (рис.1-81с).

Рис.1-81 (а) Составной полевой рекорд, полученный при исследовании помех walk-away. Шаг между трассами равен 10м, А = поверхностная волна, В = рассеянная в обратном направлении компонента А, С = дисперсионные канальные волны, D = первичное отражение. (b) f-k-спектр этого полевого рекорда. Обозначение наклонов такое же, как на рис.1-80. Событие Е упоминается в упражнении 1-17. (с) f-k-спектр полевого рекорда после подавления энергии поверхностной волны А. Сравните с f-k-спектром (b) первоначального рекорда. Для целей отражения каждый спектр нормализован по отношению к собственному максимуму. (d) Полевой рекорд, спектр которого показан на изображении (с), после пространственной фильтрации. Сравните с (а). (Данные Turkish Petroleum Corp.)

Рис.1-82 Пространственная f-k-фильтрация.

Рис.1-83 Четыре рекорда, полученные для малых глубин (а) до и (b) после пространственной f-k-фильтрации с целью устранения когерентных помех. Когерентная помеха на этих рекордах представлена прежде всего канальными волнами (данные Deminex Petroleum).

3. 3. Как и в случае одномерных частотных фильтров, амплитудный спектр f-k-фильтра не должен иметь резких границ; должен быть плавный переход от зоны подавления к зоне пропускания. Это выполняется путем ввода переходных участков в границы зоны подавления (аналогично наклонам при полосовой фильтрации). Размер переходного участка должен быть достаточно большим, чтобы обеспечивалась его эффективность. С другой стороны, не следует задавать слишком широкий переходный участок, чтобы не подавлялся сигнал в зоне пропускания. Особое внимание нужно уделять низким частотам. Поскольку конус сужается к началу плоскости (f, k), действительная зона подавления может захватывать низкочастотные составляющие зоны пропускания. Причина захвата состоит в том , что конус не может стать слишком узким. Можно остановить зону подавления, не доходя до низких частот. Это исключает действие пространственной фильтрации на низких частотах.

4. 4. Пространственная неоднозначность часто обуславливает недостаточную производительность f-k-фильтра. Зона подавления должна быть продлена до пространственно неоднозначных частотных компонент. Практический подход к этой проблеме – применение временных сдвигов к данным перед пространственной фильтрацией, чтобы ненужный сигнал появляется на малых наклонах. Это приводит к устранению пространственной неоднозначности. После f-k-фильтрации временные сдвиги устраняются. Это, однако, не всегда может работать, поскольку те сигналы, которые не являются пространственно неоднозначными до смещения во времени, могут стать таковыми после смещения.

Не обязательно ограничивать зоны подавления/пропускания формой конуса. На рис.1-83 показаны четыре выборки ОСТ, а на рис.1-84 – их f-k-спектры до и после пространственной фильтрации. Квадранты слева от спектров в основном содержат пространственно неоднозначные данные. При сохранении формы конуса в правом квадранте и обнулении большей части левого квадранта устраняются цуги когерентных помех.

Рис.1-84 F-K-спектры выборок ОПВ на рис.1-83 (а) до и (b) после пространственной фильтрации. Обозначение наклонов такое же, как на рис.1-80.

К какому типу выборки применяется f-k-фильтрация? Поскольку в этом процессе серьезную проблему представляет собой неоднозначность, нужно применять пространственную фильтрацию на коротких выборках ОПВ, а не на выборках ОСТ, поскольку в последнем случае шаг между трассами может увеличиваться в два раза. Перед фильтрацией две соседние выборки можно расположить рядом, а после фильтрации разделить; это смягчает действие неоднозначности. Когерентная помеха (рис.1-83) подавляется в области выборок ОПВ. При сортировке на выборке ОСТ эта помеха не сохраняется в данных (рис.1-85).

На рис.1-86а показан суммированный разрез, полученный по выборкам ОСТ на рис.1-85а. Суммирование по ОСТ подавило большую часть когерентных помех. Пространственная фильтрация после суммирования может эффективно подавить любую оставшуюся когерентную помеху (рис.1-86с). Результат сопоставим с результатом пространственной фильтрации перед суммированием (рис.1-86b). Когерентные линейные помехи на суммированных данных также могут быть подавлены процессом миграции после суммирования, который включает пространственную фильтрацию.

Два типа когерентных линейных помех, которые требуют особого внимания – это канальные волны и энергия, рассеянная в боковом направлении. Канальные волны проявляются в виде линейных помех на выборках ОПВ (рис.1-83а) и выборках ОСТ (рис.1-85а), но в значительной мере ослабляются процессом суммирования (рис.1-86а). Энергия, рассеянная в боковом направлении, проявляется в виде линейных помех на выборках ОПВ (рис.1-87а), отсутствует на выборках ОСТ (рис.1-87b) и снова появляется в виде линейных помех на суммированных разрезах (рис.1-88а) (Larner и др. 1983). Энергия, рассеянная в боковом направлении, характеризуется широким диапазоном приращений, которые зависят от положения рассеивающего объекта. Этот тип энергии суммируется при высоких скоростях вдоль линейных краев кривой времен пробега. Мы ожидаем, что линейные помехи, которые видны на суммарном разрезе, на поздних временах – это в основном рассеянная энергия по краям кривой времен пробега, суммированная с энергией какого-либо высокоскоростного первичного отражения. Если f-k-фильтрация не применяется к выборкам ОПВ, содержащим энергию, рассеянную в боковом направлении, может получиться суммарный разрез с когерентными линейными помехами (рис.1-88а). На рис.1-88b показано, что эти помехи можно подавить, подвергнув суммированный разрез пространственной фильтрации. Можно ли улучшить подавление этой помехи? Если f-k-фильтр применить на рекордах ОПВ, получим сумму (рис.1-88с). Если сравнить этот результат с рис.1-88b, можно видеть, что на рис.1-88с более высокая разрешающая способность. Данные, обработанные f-k-фильтром перед суммированием, также дают улучшенный скоростной анализ (рис.1-89).

Рис.1-85 Выборки ОСТ (морская съемка) (а) до и (b) после пространственной фильтрации с целью удаления когерентных линейных помех. Это те же данные, что на рисю1-83. (Данные Deminex Petroleum)

Рис.1-86 (а) Сумма ОСТ с некоторым количеством когерентных помех; (b) f-k-фильтрация перед суммированием; (с) f-k-фильтрация после суммирования. Выборки ОСТ показаны на рис.1-85 (Данные Deminex Petroleum).

Рис.1-87 (a) Две выборки ОПВ и (b) две выборки ОСТ по одному и тому же профилю. Сумма ОСТ показана на рис.1-88а. Обратите внимание на присутствие когерентных линейных помех: А = пакет канальных волн (до 2с на дальнем выносе). В, С = помехи, рассеянные в боковом направлении с наклоном справа налево и наоборот. Каков источник энергии D с гиперболическими временами пробега? (Данные Taylor Woodrow Energy Ltd.)

Рис.1-88 (а) Сумма ОСТ, осложненная когерентными помехами. Ассоциированные выборки ОПВ и ОСТ показаны на рис.1-87. (b) Эта же выборка ОСТ, обработанная f-k-фильтром после суммирования. (с) Сумма ОСТ, обработанная f-k-фильтром перед суммированием. (d) сумма ОСТ, дважды обработанная f-k-фильтром перед суммированием: первый раз – в области ОПВ, второй раз - в области ОТП (Данные Taylor Woodrow Energy Ltd.)

Рис.1-89 Скоростные спектры, ассоциированные с данными на рис.1-87b: (а) с пространственной фильтрацией; (b) без пространственной фильтрации.

Рис.1-90 Набор полевых данных, отображенный в двух различных областях: ОПВ и ОСТ (см. упражнение 1-13).

Рис.1-91 Сигнал с тремя частотными составляющими А, В и С, выбранный с тремя различными шагами: 2, 4 и 8мс. Появление зеркальных частот происходит при увеличении шага дискретизации (см. упражнение 1-19).

Практический опыт работы показывает, что можно улучшить результат, если обрабатывать пространственным фильтром обе выборки – ОПВ ОТП. Полученная в этом случае сумма показана на рис.1-88d; сравните с рис.1-88b и 1-88с. Если f-k-фильтрация была выполнена на выборках ОПВ, в данных может остаться значительная часть когерентных помех. С другой, второй прогон f-k-фильтрации делает данные более размытыми и это может ухудшить определенные коллектора. Итак, двумерное преобразование Фурье – это способ разложения волнового поля на плосковолновые составляющие. Каждая плоская волна несет монохроматический сигнал, который

распространяется под определенным углом к вертикали. События с одним и тем же наклоном в плоскости (t, x), независимо от положения, располагаются на одной линии в радиальном направлении на плоскости (f-k). Это основа для пространственной фильтрации, которая равносильна определению конуса подавления в области преобразования, а затем обратному преобразованию данных в область (t, x).

Список литературы

Упражнения

Упражнение 1-1. Используя гиперболическое уравнение времени пробега, рассчитайте среднюю скорость до отражающей поверхности А в рекорде 8 (рис.1-33). Между А и поверхностью скорость постоянная. Таблица 1-8 (рекорд 8) содержит всю информацию, необходимую для расчета.

Упражнение 1-2. Обратитесь к рекорду исследования walk-away помех (рекорд 19, рис.1-33). Измерьте фазовую скорость (dx/dt) энергии поверхностной волны в точке А1 и преобладающую частоту в той же самой точке. Затем оцените преобладающую длину поверхностной волны (скорость/преобладающая частота). Длина расстановки сейсмоприемников, необходимая для подавления этой энергии в полевых условиях, должна быть равна или больше самой длинной волны – помехи. Таблица 1-8 (рекорд 19) содержит всю информацию для расчетов.

Упражнение 1-3. Измерьте групповую скорость (xt) поверхностной волны А в рекорде 25 (рис.1-33). Необходимая информация содержится в таблице 1-8 (рекорд 25).

Упражнение 1-4. Что представляет собой событие А в рекорде 29 (рис.1-33)? Является ли С, D и Е кратными отражениями В?

Упражнение 1-5. Обратитесь к рекорду 30 (рис.1-33). Рассчитайте скорость в воде, используя вступления прямой волны А и отражения от дна В. Используйте время пробега в одном направлении для А и полное время пробега для В.

Упражнение 1-6. Исследуйте времена пробега для отражения от дна В и его первое кратное отражение М в рекорде 30 (рис.1-33). В частности, измерьте разности времен между В и М на ближних и на дальних трассах. Равны ли они? Если нет, объясните причину. (Ответ на это упражнение представляет собой предмет Раздела 7.5)

Упражнение 1-7. Идентифицируйте события А, В, С, D, E, F на рекорде 33 (рис.1-33).

Упражнение 1-8. Идентифицируйте события А, В, С, D, E на рекорде 34 (рис.1-33).

Упражнение 1-9. Сделайте заключение о наклонах сигналов А и В на рекорде 35 (рис.1-33).

Упражнение 1-10. Рассмотрите три стадии общепринятой обработки: деконволюция, суммирование, миграция. Расположите эти процессы в порядке важности и объясните, почему вы их так расположили.

Упражнение 1-11. Рассчитайте кратность n_f, шаг между средними Dy и шаг Df между трассами ОСТ для каждой из следующих расстановок:

Схема суммирования показана на рис.1-43. Постройте шаг между ПВ Ds в функции n_f, Dy и Df для группы 1. Постройте функцию расстояния между приемниками Dg в функции n_f, Dy и Df для группы 2. Постройте количество каналов n_c в функции n_f, Dy и Df для группы 3. Покажите, что (а) кратность можно повысить путем увеличения числа регистрирующих каналов или путем уменьшения шага между ПВ; (b) интервал между средними точками можно уменьшить, делая меньше шаг между сейсмоприемниками. Кратность перекрытия определяется как n_f = (n_g·Dg)/(2Ds), где n_g – количество приемных каналов. Эта зависимость сохраняется для любого отношения ·Dg/Ds, при котором кратность – целое число, которое меньше или равно n_g/2.

Упражнение 1-12. Предположим, что ПВ, ассоциированный с выборкой 1 на рис.1-43. Определите, на какие средние точки это повлияет, т.е. какие из них будут с меньшей кратностью. Предположим, что пропущен сейсмоприемник, ассоциированный с выборкой 2 на рис.1-43. Определите, на какие средние точки это повлияет.

Упражнение 1-13. По рис.1-90 определите выборки ОПВ и ОСТ.

Упражнение 1-14. При каких обстоятельствах вы предпочтете присвоить временной выборке, которая предшествует центру скользящего временного окна, рассчитанную величину для функции мгновенного АРУ?

Упражнение 1-15. Рассмотрите аналоговый 200-герцовый синусоидальный сигнал. Если он был выбран с шагом 8мс, какова его алиасная часть?

Упражнение 1-16. Из первых вступлений на рекорде 27 (рис.1-33) обратите внимание, что в точке А произошло изменение геометрии приемной полосы. Каково соотношение интервалов между группами слева и справа от А?

Упражнение 1-17. Идентифицируйте событие Е на рис.1-81b.

Упражнение 1-18. При применении усиления происходит умножение функции усиление на сейсмическую трассу (рис.1-16). Этот процесс эквивалентен свертке преобразования Фурье функции усиления с преобразованием Фурье входной трассы. Опишите эффект применения усиления в частной области.

Упражнение 1-19. Обратитесь к рис.1-91. Какие пики на амплитудных спектрах временной последовательности, выбранной с шагом 4 и 8мс, соответствуют пикам А, В и С последовательности, выбранной с шагом 2мс?

Упражнение 1-20. Рассмотрим регистрирующую расстановку на рис.1-40. Схематически изобразите кривые времен пробега на выборке ОПВ, ассоциированные с точечными рассеивающими объектами (а) ниже косы, (b) позади косы и (с) перед косой. Считайте, что все рассеивающие объекты находятся в плоскости регистрации.

Упражнение 1-21. Что представляет собой событие С на рекорде 8 (рис.1-33).