Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы к невырожденной матрице

Линейные операции над матрицами

1. Сложение (вычитание) матриц. Суммировать можно 2 матрицы, имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов.

Пример: А=(21 2 0) ; В=(-1 4 3 )

(3 4 5) (2 1 6)

Решение: А+В=(20 6 3)

(5 5 11)

А-В=(22 -2 -3)

(1 3 -1)

2. Умножение матриц на число. А= (21 2 0)

Пример: £×А= (21£ 2£ 0) (3 4 5)

(3£ 4£ 5£)

Если все элементы матрицы × на -1, то получим матрицу противоположную данной.

3. Умножение матриц.

Умножить матрицу А на матрицу В можно в том случае, если число столбцов матрицы А= числу строк матрицы В.

1 2 1 3

А= 0 3; В=2 1 А×В=

1 1

4. Транспонирование матриц (замена соответствующих строк столбцами; номера строк и столбцов совпадают).

А=1 2 3 А^т= 1 5

5 0 4 2 0 (А^т )^т =А

3 4

Матрицы: определение, примеры, виды матриц.

Матрицей наз. прямоугольный массив (таблица) чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

а₁₁ а_{12 …}а _{1 n}

А= а₂₁ а_{22 …}а _{2 n}

а₃₁ а_{32 …}а _{3 n}

Числа а _I j, стоящие на пересечении i-строки и j-столбца, называются элементами матрицы.

Если m= 1- имеем матрицу строку.

Если m= n, то такая матрица наз. квадратной. В такой матрице элементы а₁₁ а_{12 …}а _{1 n} составляют главную диагональ, а элементы а _{1 n,} а _2(n-1), …, а_n1 составляют побочную диагональ.

Если все элементы матрицы равны нулю, то она наз. нулевой матрицей.

Если в квадратной матрице все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, то имеем диагональную матрицу.

Пример: 1 0…0

Е= 0 1…0

0 0…1

Умножение матриц.

1. Умножение матриц на число. А= (21 2 0)

Пример: £×А= (21£ 2£ 0) (3 4 5)

(3£ 4£ 5£)

Если все элементы матрицы × на -1, то получим матрицу противоположную данной.

Свойства произведения вектора на число:

1.(kl) аˉ= k(laˉ) - сочетательный закон; 2.(k+l)аˉ = каˉ+ lаˉ - первый распределителоный закон; 3.k(aˉ+ bˉ)= kaˉ+ kbˉ- второй распределительный закон.

2. Умножение матриц.

Умножить матрицу А на матрицу В можно в том случае, если число столбцов матрицы А= числу строк матрицы В.

1 2 1 3 5 5

А= 0 3; В=2 1 А×В= = 6 3

1 1 3 4

Транспонирование матриц.

Транспонирование матриц (замена соответствующих строк столбцами; номера строк и столбцов совпадают).

А=1 2 3 А^т= 1 5

5 0 4 2 0 (А^т )^т =А

3 4

Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

В любой матрице путем мысленного вычеркивания строк и столбцов можно получить квадратные матрицы.

Если в матрице m- строк и n- столбцов и m<n, то наибольший порядок квадратной матрицы будет равняться m.

Наибольший порядок определителя, отличного от нуля всех тех матриц, который можно образовать таким способом, называется рангом матрицы.

Пример: найти ранг матрицы

123 Решение: переписываем строчку в столбе

456 r=2

Квадратная матрица размерности (n ×n) называется невырожденной, если ее ранг равен n, т. е. определитель этой матрицы отличен от нуля.

Вырожденной квадратной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен 0, т.е. вырожденная квадратная матрица размерности (n ×n) имеет ранг меньше n.

Ганг матрицы равен числу всех линейно – зависимых векторов – строк или векторов- столбцов матрицы.

Для нахождения ранга матрицы можно осуществлять линейные преобразования, которые не влияют на ранг этой матрицы. 1. отбрасывание нулевых строк (столбцов).2. изменение порядка строк (столбцов). 3. умножение строк (столбцов) на число, отличное от нуля. 4. транспонирование (замена соответствующих строк столбцами; номера строк и столбцов совпадают).5. сложение элементов строки, столбца; умножение на одно и тоже число, отличное от 0 соответствует элементам другой строки, другого столбца.

Определители квадратных матриц.

Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы и представляет собой число, которое находится по определенному правилу через элементы, составляющих данную матрицу. Для квадратной матрицы n- порядка:

а₁₁ а_{12 …}а _{1 n}

А= а₂₁ а_{22 …}а _{2 n} а₁₁ а_{12 …}а _{1 n}

а_n1 а_{n2 …}а _{n n ∆=} а₂₁ а_{22 …}а _{2 n}

а_n1 а_{n2 …}а _{n n}

В определителе различают строки и столбцы. Числа а _I j называются элементами определителя. Минором М _I j элемента а _I j определителя ∆ называется определитель (n-1)- го порядка, который получается из определителя ∆ путем вычеркивания i- строки и j- го столбца, на пересечении которых стоит элемент а _I j.

Алгебраическим дополнением А _I j. наз. произведение (-1)^i+j M _I j. Пусть имеем определитель 3- ого:

1 0 5 1 0

∆=0 1 1 ; М₂₃= -2 1

-2 1 4

А23= (-1)²⁺³х М²³;

Аn= (-1)¹⁺¹х Мn=11=3

Свойства определителей квадратных матриц.

1) если строка определителя состоит из нулей, то он равен нулю. 2) если 2 строки пропорциональны, то определитель равен 0. 3) при перестановки 2-ух строк определитель меняет знак на противоположный. 4) определитель не измен., если к элементам строки прибавить элементы другой строки, умножен. на одно и тоже число. Замечание! Все выше приведенное справедливо, если слово «строка» заменить словом столбец. 5) определитель можно представить в виде суммы элементов любой строки, любого столбца, умноженного на их алгебраическое дополнение.

‌‌‌‌‌│а₁₁ а_{12 …}а _{1 n}│

_∆=│а₂₁ а_{22 …}а _{2 n}│= аn_{1 ×} А n₁ + аn_2× А n₂ +аnn* А nn

‌‌‌‌‌ а_n1 а_{n2 …}а _{n n}

Это вытекает из теоремы Лапласа.

│1 2 3 │ │2 3│ │1 3│ ∆= │0 1 0 │= 0×( -1)²⁺¹ │4 1│+ 1×(-1)²⁺²│5 1│+

│5 4 1│

+0* (-1)²⁺³ 1 2 = 1*1-5*3=-14

5 4

6. если элементы, какой - нибудь строки (столбца) × на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца), то полученная сумма равна 0.

∆=а ₁₁×А ₂₁+а₁₂×А ₂₂+…а _1n×А _2n= 0

Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы к невырожденной матрице.

Обратная матрица А называется такая матрица А в минус 1, что А×А в минус в минус первой = А в первой ×А= Е;

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, причем эта матрица должна быть невырожденной, т.е. ее определитель не равен 0.

Пусть имеем квадратную матрица А и пусть ∆ не равен нулю. Тогда обратная матрица имеет след. вид.

(А₁₁ А_{12 …}А _{1 n} )

А^-1= 1/∆ (А₂₁ А_{22 …}А _{2 n} )

(А_n1 А_{n2 …}А_{n n} )

∆- определитель матрицы А.

Пример:

1 3 -1 │1 3 -1│

А= 0 5 1 ∆= │0 5 1 │= -5+6+0+10-0-3=8≠0

2 3 -1 │ 2 3-1│

Матрица А невырожденная, поэтому она имеет обратную.

│5 1 │

А₁₁=│3 -1│= -8

А₁₂= -│3-1│

│3-1│= 0

Нужно делать до А_32. Затем находим А в минус первой.

19. Системы линейных уравнений: основные понятия, элементарные преобразования, матричная форма, критерий совместности.

Математические модели в экономике зачастую сводятся к необходимости решать системы m- линейных уравнений с n- неизвестными.

Система m- линейных уравнений с n- неизвестными имеет следующий вид:

{а ₁₁ х₁₊…+ а_1n x_n= в₁

{а ₂₁ х₁… +а_2n x_n= в₂

{а _mx х₁…+ а_mn x_n= в_m

хi (i=1,…n)- неизвестное, а aj(i=1,…m), (j=1,…n); а, аj- коэффициенты; bi (n=1,…m)0 свободные члены.

Решением системы линейных уравнений называется вектор, имеющий n- координат (к_1, к_2, к_n), которое обращает каждое уравнение системы, если соотв. координаты поставить вместо неизвестного.

Назовем матрицей данной системы матрицу А.

( а₁₁ а_{12 …}а _{1 n)}

А= (а₂₁ а_{22 …}а _{2 n )}

(а_m1 а_{m2 …}а _{m n)}

Матрицу неизвестных назовем матрицу в виде столбца.

х₁

Х=х₂

х_m

Матрицу свободных членов изобразим в виде матрицы- столбца.

б₁

В=б₂

б_m

Матрица А, умноженная на матрицу Х имеет m- строк и 1 столбец.

А×Х=В- матричная форма записи системы m-лин.- урав. с n- неиз.

Система лин. урав. наз. совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система лин. урав. наз. несовместной, если она не имеет ни одного решения. Пример:

{х1+х2=3

{х1+х2=5;

Система лин. урав. наз. определенной, если она иммет только одно решение.

Система лин. урав. наз. неопределенной, если она имеет более одного решения.

Х= А в минус первой ×В- матричное решение сист. лин. урав.