Нестационарные интегрируемые процессы

ЛЕКЦИЯ 12. Модель ARIMA

Прогнозирование ARMA-процессов

AR-процессы

Рассмотрим стационарную AR-модель

Y_t = α₀ + α₁Y_t–1 + α₂Y_t–2+…+ α_pY_t–p + ε_t. (1)

Предположим, что прогноз Ŷ_Т(h) строится на h шагов вперед, начиная с момента времени Т. Запишем уравнение (1) для момента времени T+h

Y_T+h = α₀ + α₁Y_T+h–1 + α₂Y_T+h–2 +…+ α_pY_T+h–p + ε_T+h. (2)

При расчете прогнозного значения Ŷ_Т(h) в правую часть (2) вместо Y_T+i (i > 0) следует подставлять вычисленное ранее прогнозное значение Ŷ_Т(i). Тогда точечный прогноз будет определяться соотношениями:

Ŷ_Т(1) = α₀ + α₁Y_Т + α₂Y_Т–1 +…+ α_pY_Т–p+1,

Ŷ_Т(2) = α₀ + α₁Ŷ_Т(1) + α₂Y_Т +…+ α_pY_Т–p+2, …… (3)

Ŷ_Т(p) = α₀ + α₁Ŷ_Т(p–1) + α₂Ŷ_Т(p–2) +…+ α_p–1Ŷ_Т(1) + α_pY_Т ,

Ŷ_Т(h) = α₀ + α₁Ŷ_Т(h–1) + α₂Ŷ_Т(h–2) +…+ α_pŶ_Т(h–p+1) при h > p.

Доказано, что в бесконечном периоде математическое ожидание прогнозного значения Ŷ_Т асимптотически сходится к математическому ожиданию процесса Y_t, т. е. условное математическое ожидание ошибки прогноза равно нулю и оценка Ŷ_Т(h) является несмещенной, а дисперсия прогноза сходится к дисперсии процесса Y_t, т. е. к

Для модели AR(2)

Y_t = α₀ + α₁Y_t-1 + α₂Y_t-2+ ε_t

формулы прогнозирования имеют вид:

Ŷ_Т(1) = α₀ + α₁Y_Т + α₂Y_t–1,

Ŷ_Т(2) = α₀ + α₁Ŷ_ТŶ_Т(1) + α₂Y_t, (4)

Ŷ_Т(h) = α₀ + α₁Ŷ_Т(h–1) + α₂Ŷ_Т(h–2) при h ≥ 3.

MA-процессы

Рассмотрим теперь стационарную MA-модель

Y_t = ε_t – β₁ε_t–1– β₂ε_t–2 –…– β_qε_t–q. (5)

С учетом того, что величина ε_t для прогнозируемых моментов времени не известна точечный прогноз согласно модели (5) будет определяться соотношениями:

Ŷ_Т(1) = – β₁·ε_Т – β₂·ε_Т–1 – … – β_q·ε_Т–q+1,

Ŷ_Т(2) = – β₂·ε_Т – … – β_q·ε_Т-q+2,

…… (6)

Ŷ_Т(q) = – β_q·ε_Т,

Ŷ_Т(h) = 0 при h > q.

Дисперсия ошибки прогноза определяется соотношениями

var(e_T(1)) = σ²_ε;

var(e_T(2)) = σ²_ε (1+ β²₁);

…… (7)

var(e_T(q-1)) = σ²_ε(1+ β²₁+…+ β²_q-1);

var(e_T(q)) = σ²_ε(1+ β²₁+…+ β²_q) = σ²_Y для h > q.

Для процесса MA(2)

Y_t = ε_t – β₁ε_t–1 – β₂ε_t–2

формулы для прогнозирования имеют вид

Ŷ_Т(1) = – β₁·ε_Т – β₂·ε_Т–1

Ŷ_Т(2) = – β₂·ε_Т (8)

Ŷ_Т(h) = 0 при h ≥ 3,

а дисперсии ошибки прогноза:

var(e_T(1)) = σ²_ε;

var(e_T(2)) = σ²_ε(1+ β²₁);

var(e_T(h))= σ²_ε(1+ β²₁+ β²₂) =σ²_Y для h ≥ 3.

ARMA-процессы

Формулы прогнозирования для процессов ARMA(p,q) получаются объединением формул (3) и (6).

Для модели ARMA (1,1)

Yt = α₀ + α₁Y_t-1 – β₁ ·ε_t-1

формулы для прогнозирования имеют вид:

Ŷ_Т(+1) = α₀ + α₁Y_Т - β₁ ·ε_T

Ŷ_Т(+h) = α₀ + α₁Ŷ_Т(+h-1) при h ≥ 2. (9)

При прогнозировании на практике реальные параметры ARMA-процесса a_k и b_j заменяются их оценками , а случайные воздействия ε_t заменяются на остатки , полученные при оценивании модели, или на ошибки e_T+h-–i предыдущих прогнозов.

Отметим, что ошибка прогноза данных ARMA-моделей ограничена на бесконечности дисперсией процесса σ_х.

Нестационарные интегрируемые процессы

Признаком нестационарного стохастического процесса является нарушение одного из условий стационарности:

μ_t = μ =const;

σ²_t = σ² = const;

.

Конкретная реализация нестационарного стохастического процесса представляет собой нестационарный временной ряд. Признаками нестационарности временного ряда могут служить наличие тенденции, систематических изменений дисперсии, периодической составляющей, систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.

Заметим, что, как правило, значения, характеризующие изменение экономических показателей во времени, образуют нестационарные временные ряды.

Рассмотрим авторегрессионный процесс первого порядка, определяемый моделью

Y_t = α₀ + α₁·Y_t–1 + ε_t, (10)

где εt – процесс типа «белый шум» с με = 0. При | α1| < 1 случайный процесс Yt будет стационарным. Процесс, определяемый соотношением (6.39) при α1 = 1

Y_t = Y_t–1 + ε_t. (11)

является нестационарным и называется «случайным блужданием». Такие нестационарные процессы называют процессами единичного корня.

Среднее процесса Y_t постоянно E(Y_t) = Е(Y_t–1)+ E(ε_t) = μ = const, а дисперсия var(Y_t) = tσ² неограниченно возрастает с течением времени. Первые разности Y_t являются «белым шумом» ε_t и стационарны:

∆Y_t = Y_t – Y_t–1 = ε_t.

Как показывает практика, рассматриваемые в эконометрических исследованиях нестационарные временные ряды чаще всего относятся именно к этому типу и проблема выявления нестационарности временного ряда сводится к проверке α₁ = 1 в модели (10). Соответствующие тесты называются «тестами единичного корня».