Источники и классификация погрешностей
При замене задачи (1) на задачу (2) получаемое решение отличается от истинного решения задачи (1), т.е. несет в себе некоторую погрешность.
Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:
1) математичское описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания;
2) применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;
3) при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций, при выводе данных производятся округления.
Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:
1) неустранимой погрешностью;
2) погрешностью метода;
3) вычислительной погрешностью.
Пример. Пусть имеется математический маятник (рис.3), который начинает свое движение в момент времени . Требуется определить угол отклонения от вертикали в момент .
Дифференциальное уравнение, описывающее колебание маятника, берется в виде:
, (3)
где - длина маятника, - ускорение свободного падения, - коэффициент трения.
Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности, потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно; другой источник неустранимой погрешности состоит в погрешностях определения , , , , , . Название погрешности – «неустранимая» соответствует ее существу: она неконтролируема в процессе численного решения задачи и может уменьшится только за счет более точного описания физической задачи и более точного определения входных параметров. Дифференциальное уравнение (3) не решается в явном виде, для его решения требуется применить какой-нибудь численный метод. Вследствие этой причины возникает погрешность метода. Вычислительная погрешность возникает из-за конечности количества разрядов чисел, участвующих в вычислениях.
Введем формальные определения. Пусть - точное значение отыскиваемого параметра (в данном случае – реальный угол отклонения маятника в момент времени ), - значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию (математической модели) (в данном случае – значение точного решения уравнения (3)), - решение полученной математической задачи (в данном случае – уравнения (3)), получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений, - приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях. Тогда
- неустранимая погрешность,
- погрешность метода,
- вычислительная погрешность,
- полная погрешность.
Полная погрешность удовлетворяет равенству
.
Возможно полагать , , . В таких обозначениях .