Пакет программ лабораторных работ

Учебное издание

Лабораторные работы по высшей математике

Методические указания

Составитель: АНКИЛОВ Андрей Владимирович

Редактор Д. В. Царева

Подписано в печать Формат 60 84/16.

Бумага писчая. Усл. печ. л. 4,19. Уч.-изд. л. 4,00.

Тираж 300 экз. Заказ

Ульяновский государственный технический университет

432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32

© Анкилов А. В., составление, 2005

© Оформление. УлГТУ, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

Инструкция по технике безопасности …...……………………..…. 5

Введение ……….……………………….…..……………………………. 5

Пакет программ лабораторных работ …………………..…………. 6

1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса ……. 7

1.1. Постановка задачи ……………………………………………… 7

1.2. Задание на лабораторную работу ……………………………… 10

1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ……… 11

1.4. Пример выполнения работы ………………………………….. 11

1.5. Вопросы для самоконтроля ……………………………………. 14

2. Решение нелинейных уравнений ………………………………... 15

2.1. Постановка задачи ……………………………………………… 15

2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод ………….. 15

2.3. Метод половинного деления …………………………………… 16

2.4. Метод Ньютона …………………………………………………. 16

2.5. Метод хорд ……………………………………………………… 18

2.6. Комбинированный метод ………………………………………. 19

2.7. Задание на лабораторную работу ……………………………… 20

2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ………. 21

2.9. Пример выполнения работы …………………………………… 22

2.10. Вопросы для самоконтроля …..………………………………. 25

3. Вычисление определенных интегралов ……………………….. 27

3.1. Постановка задачи ……………………………………………… 27

3.2. Методы прямоугольников и трапеций ………………………… 28

3.3. Метод Симпсона ……………………………………………….. 29

3.4. Оценка погрешностей методов ……………………………….. 31

3.5. Задание на лабораторную работу …………………………….. 33

3.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ……… 34

3.7. Пример выполнения работы …………………………………… 35

3.8. Вопросы для самоконтроля ……………………………………. 38

4. Численное интегрирование обыкновенных

дифференциальных уравнений первого порядка ………………. 39

4.1. Постановка задачи ……………………………………………… 39

4.2. Метод Эйлера …………………………………………………… 40

4.3. Метод Рунге-Кутта ……………………………………………… 41

4.4. Выбор шага интегрирования …………………………………… 42

4.5. Задание на лабораторную работу ……………………………… 43

4.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ………. 44

4.7. Пример выполнения работы …………………………………… 45

4.8. Вопросы для самоконтроля ……………………………………. 49

5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных

данных по методу наименьших квадратов ……………………… 50

5.1. Постановка задачи …………………………………………….. 50

5.2. Выбор типа кривой ……………………………………………. 51

5.3. Метод наименьших квадратов ……………………………….. 51

5.4. Подбор параметров линейной функции методом

наименьших квадратов ……………………………………….. 52

5.5. Подбор параметров квадратичной функции методом

наименьших квадратов ……………………………………….. 53

5.6. Задание на лабораторную работу …………………………….. 54

5.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе ……… 56

5.8. Пример выполнения работы ………………………………….. 56

5.9. Вопросы для самоконтроля …………………………………… 60

6. Прикладной математический пакет «Mathcad» ……………… 61

6.1. О программе …………………………………….……………… 61

6.2. Основные понятия и функции ………………………………… 62

6.3. Операторы математического анализа ………………………… 64

6.4. Функции и операторы матриц ………………………………… 65

6.5. Создание декартовых графиков на плоскости ………………. 66

6.6. Программные блоки …………………………………………… 70

Библиографический список ………………………………………… 72

ИНСТРУКЦИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ

К лабораторным работам студенты допускаются только после инструктажа по технике безопасности.

За поддержание общего порядка в лаборатории, инструктаж по технике безопасности и строгое соблюдение правил техники безопасности при проведении работ отвечает преподаватель, проводящий занятия в лаборатории.

Основная опасность в лаборатории – электричество. Перед началом работы необходимо визуально проверить исправность электрических шнуров и розеток.

Запрещается:

– работать с неисправными шнурами и розетками;

– самостоятельно проводить любые ремонтные работы оборудования лаборатории и компьютерного класса.

В случае любой неисправности немедленно сообщить об этом преподавателю или лаборанту. При несчастном случае немедленно обесточить электросеть, оказать доврачебную помощь пострадавшему, при необходимости вызвать скорую помощь и доложить о случившемся заведующему кафедрой.

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование инженера в настоящее время не может ограничиваться традиционными разделами классического анализа. От инженера требуется знание многих разделов современной математики, так как решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата. В то же время решение многих задач приводит к исследованию сложных математических моделей. При этом в большинстве случаев не удается получить точных аналитических решений. Тогда используются численные методы.

Решение, полученное численными методами, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Ее источниками являются: неполное соответствие математической модели реальной задаче; погрешность исходных данных; погрешность самих численных методов; погрешности округления.

Цикл лабораторных работ включает в себя следующие работы:

· решение систем линейных уравнений методом Гаусса;

· решение нелинейных уравнений;

· вычисление определенных интегралов;

· численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;

· аппроксимация функций на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.

Целью этих лабораторных работ является ознакомление студентов с основными численными методами, предусмотренными программой курса высшей математики для инженерных специальностей, их особенностями и возможностями. Весь теоретический материал, необходимый для выполнения работ, можно почерпнуть из конспекта лекций и из учебников [1]–[4] и аналогичных методических указаний, подготовленных на кафедре «Высшая математика» ранее [5]–[13].

В данных методических указаниях для каждой лабораторной работы (главы 1–5) приведены теоретические сведения, постановки задач и основные численные методы их решений, примеры выполнения работ, варианты заданий и вопросы по прочитанному материалу.

Необходимый для выполнения лабораторных работ минимум знаний о математической системе Mathcad содержится в 6 главе.

ПАКЕТ ПРОГРАММ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Для выполнения лабораторных работ разработан специально подготовленный в прикладной системе Mathcad пакет программ Lab, включающий пять файлов:

Lab1.mcd – решение систем линейных уравнений методом Гаусса;

Lab2.mcd – решение нелинейных уравнений;

Lab3.mcd – вычисление определенных интегралов;

Lab4.mcd – численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;

Lab5.mcd – аппроксимация функций на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.

В начале каждого файла расписано задание на лабораторную работу, а в конце приведены варианты заданий, номера которых студенты получают от преподавателя.

Прежде чем приступать к выполнению своего задания, необходимо в каждом файле рассмотреть пример, для которого исследование уже проведено. Далее нужно руководствоваться подсказками, указаниями и заданиями, выделенными красным цветом. В каждом файле помимо сведений, необходимых для выполнения работы, представлены также некоторые дополнительные возможности системы Mathcad по соответствующему разделу высшей математики.