СМО с конечной очередью. Определение вероятностей состояний

СМО с конечной очередью длины т характеризуется тем, что при поступлении очередной заявки возможны три исхода:

– заявка немедленно принимается на обслуживание, если в си­стеме в данный момент находится k заявок и k<n;

– заявка становится в очередь, если п£k<n+m;

– заявка получает отказ и покидает систему, если k=n+m.Следовательно, в любой момент времени система может нахо­диться в одном из п+т+1 состояний, то есть множество состояний

Увеличение числа заявок в системе происходит только под воз­действием потока заявок интенсивности l, а уменьшение числа зая­вок в системе — только в результате завершения обслуживания одной из заявок, то есть

(k занятых приборов порождают поток обслуженных заявок ин­тенсивности k m).

Размеченный граф состояний СМО с конечной очередью для п=3, т=2 изображен на рис. 2.5.

Для определения вероятностей состояний системы в формулы (2.16) и (2.17) подставим значения

и получим:

– для k£n
;

– для k<n
.

Полагая в уравнении (2.17) N=n+m, находим

(2.25)

Учитывая, что a⁰/0!=1 и вычисляя сумму т членов геометри­ческой прогрессии со знаменателем r, находим

(2.26)

Из уравнения (2.16) находим вероятности состояний

; (2.27)

(2.28)

На основании формул (2.25) – (2.28) определим основные по­казатели эффективности системы.

1. Вероятность отказа в обслуживании – это вероятность того, что в СМО имеется п+т заявок, то есть

(2.29)

Зная Р_отк по формулам (2.19) – (2.21), можно вычислить аб­солютную и относительную пропускную способность системы, сред­нее число занятых приборов, коэффициенты их загрузки и простоя.

2. Вероятность того, что поступившая в систему заявка заста­нет все каналы занятыми (не будет немедленно принята на об­служивание),

. (2.30)

3. Средняя длина очереди

,

где P_n+r – вероятность того, что в очереди находится ровно r зая­вок (k=n+r).

Подставляя в полученное выражение P_n+r, находим

; (2.31)

. (2.32)

4. Среднее время ожидания в очереди определяется как мате­матическое ожидание. Если к моменту поступления заявки в оче­реди находится r=0, 1, . . ., т–1 заявок, то она поступит на об­служивание после завершения обслуживания r+1 заявок, то есть

;

. (2.33)

Среднее время ожидания – это среднее время на­копления очереди длиной L.

Среднее число заявок, находящихся в СМО, и среднее время пребывания заявки в системе определяются по формулам (2.22) и (2.23) с учетом формул (2.31) – (2.33).

Из полученных соотношений следует, что показатели Р_отк, q, N_з, L, Y не зависят от конкретных значений l и m, а только от их соотношения a. Показатели напротив, чувствительны к изменению не только параметра a, но и к изменению l при a=const. Так, например, при увеличении l и m в два раза Р_отк, q, n_з и L не изменяются, Q увеличивается, а уменьшается в два раза, то есть при одновременном увеличении плотности потоков зая­вок и обслуживании характеристики процесса обслуживания улуч­шаются.