Классификация математических моделей

Рассмотрим основные типы математических моделей, применяемые в САПР.

Структурные топологические и геометрические модели применяются для отображения взаимного расположения элементов в пространстве и их взаимодействия (компоновка оборудования), для представления формы проектируемого объекта и его составных частей.

Функциональные ММ устанавливают связи между входными, выходными, режимными, управляющими параметрами с помощью функциональных зависимостей, неравенств, вероятностных зависимостей и т.п.

В зависимости от способа построения функциональные ММ подразделяются на теоретические и экспериментальные (эмпирические). В основе получения теоретических ММ лежат фундаментальные физические законы: закон сохранения массы, энергии и т.д. В том случае, если физическая сторона процессов неизвестна или недостаточно изучена, получают экспериментальные модели на основе изучения только входных и выходных параметров моделируемого объекта, рассматриваемого в виде “черного ящика”.

Функциональные ММ по форме связей между параметрами модели разделяют на аналитические и алгоритмические. Аналитические ММ имеют форму функциональных зависимостей определяемых параметров от других параметров модели. В алгоритмических моделях такая зависимость выполнена неявно, она описана в виде некоторого алгоритма, например, она может включать в себя семейство численных значений с некоторого графика (номограммы).

Особенности входящих в ММ уравнений позволяют выделить среди них линейные и нелинейные модели.

В зависимости от конкретной реализации процесса и его аппаратурного оформления все многообразие химико-технологических процессов можно разделить на четыре класса исходя из временного и пространственного признаков: процессы, переменные во времени (нестационарные), и процессы, не меняющиеся во времени (стационарные); процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические модели являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы, а именно: 1) модели, неизменные во времени, - статические модели; 2) модели, переменные во времени, - динамические модели; 3) модели, неизменные в пространстве, - модели с сосредоточенными параметрами; 4) модели, изменяющиеся в пространстве, - модели с распределенными параметрами.

При проектировании сложных объектов используются функциональные ММ в основном следующих видов:

1. ММ в форме дифференциальных уравнений в частных производных (распределенные модели). Такие модели отражают процессы, протекающие в общем случае непрерывно в трехмерном пространстве и времени. Примерами распределенных моделей могут служить:

уравнение теплопроводности при моделировании теплотехнических и других устройств, связывающее изменение температуры в пространстве и времени со свойствами среды;

уравнение диффузии при процессах, связанных с массообменом;

уравнение неразрывности при моделировании задач гидродинамики (при определении полей скоростей, давлений, плотности);

Распределенные ММ чаще используются при проектировании элементов многих технических устройств: аппаратов, турбин, компрессоров, интегральных схем и т.д.

2. ММ в форме обыкновенных дифференциальных уравнений (сосредоточенные модели).

В случае, когда распределенные модели приобретает громоздкий вид и их решение представляет большие трудности, переходят к разбиению объектов на участки и усреднению переменных в пределах участка. Это позволяет перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

3. ММ в форме алгебраических уравнений. Используются для анализа статического состояния объекта проектирования.

4. ММ в форме логических уравнений (например, в схемах ЭВМ, автоматики и т.д.).

Использование принципов блочно – иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако для большинства предметных областей можно отнести имеющиеся иерархические уровни к одному из трех обобщенных уровней, называемых далее микро-, макро- и метауровнями.

В зависимости от места в иерархии описанийматематические модели делятся на ММ, относящиеся к микро-, макро- и метауровням.

Особенностью ММ на макроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне – дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов, давлений, температур и т. п. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровнеиспользуют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных Vсоставляют фазовые переменные, характеризующие состояния укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т.п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок приближается к 10³, то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне.

На метауровнев качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов чем на макроуровне.

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи. В результате ММ становиться системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени. Важный класс ММ на метауровне составляют модели массового обслуживания применяемые для описания процессов функционирования информационных вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов. Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших иерархических уровнях используются топологические модели.

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровнявыделяют полные ММ и макромодели.

Полная ММ –модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т. е. Состояния всех элементов проектируемого объекта).

Макромодель – ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.

Математическая модель

Построение любой ММ (математической модели) для сложных технологических процессов или объектов начинают с блочного формализованного описания объекта моделирования. Т.е. составлению полного математического описания предшествует анализ отдельных элементарных процессов, протекающих в объекте моделирования. Полная ММ получается как комбинация вариантов моделей отдельных блоков.

Такой блочный подход эффективен, но затруднен тем, что функционирование системы протекает в условиях непрерывного усложнения ее структуры. Анализ таких систем, включающих огромное количество разнородных элементов при неполной информации о их функционировании, не м.б. выполнен классическими методами и требует использования теории и аппарата больших систем.

Согласно этой теории решаемые задачи подразделяются на 3 класса:

ü хорошо структурированные или количественно сформулированные задачи, в которых существенные зависимости выяснены настолько точно, что м.б. выражены аналитически.

ü Неструктурированные или качественно выраженные задачи, содержащие лишь описание важнейших ресурсов, признаков и характеристик, количественные зависимости между которыми не известны.

ü Слабоструктурированные или смешанные задачи, содержащие как качественные, так и количественные элементы.

a)

объект

Х У

b)

объект

Х У

:

:

Z₁…Z_n

среда

c) U

объект

Х У

Z

Для представления объекта в а) необходимо выяснить какие входы и выходы будут включены в модель этого объекта. Реальные системы функционируют в условиях большого количества случайных факторов, источниками которых являются воздействие внешней среды (b)), а также ошибки, шумы и отключения различных величин, возникающих внутри системы. Совокупность параметров среды, которые воздействуют на объект, разделяют на группы в зависимости от характера и доли их участия в процессе.

В общем случае объект характеризуют следующие параметры:

o входные величины ( X)

o управляющие воздействия ( U )

o возмущающие воздействия ( Z )

o выходные величины ( Y )

Входными называются параметры, значения которых м.б. измеряны, но возможность воздействия на них отсутствует. Предполагается также, что эти параметры не зависят от режима процесса. Входными параметрами м.б. состав исходного сырья, теплоносителей, качество и количество которых м.б. определены, но не подлежат изменению.

Управляющими называются параметры, на которые можно оказывать прямое воздействие в соответствии с выбором разработчика или предъявляемыми требованиями, что позволяет управлять процессом.

Возмущающими называются параметры, значения которых случайным образом изменяются с течением времени, и которые недоступны для измерения. Например, содержание различных примесей в продукте, t° процесса (скачок t°).

Выходными называются параметры, значение которых изменяется в режимах процесса. Эти параметры характеризуют состояние процесса и являются результатом суммарного воздействия входных, возмущающих и управляющих параметров.

Поскольку назначение выходных параметров – описывать состояние объекта (процесса), их называют параметрами состояния.

Описание каждого параметра в модели должно производиться стандартным образом:

определение символа

текстовое описание

единица измерения

диапазоны измерения

характеристики (однозначные, многозначные)

параметр (числовой или с кодированным значением)

регулируемый, нерегулируемый или случайная величина

место применения модели

источник функции для параметра

Функциональные зависимости описывают поведение параметров в пределах компонентов системы или выражаются отношения между компонентами. Эти соотношения или операционные характеристики по своей природе м.б. :

· детерминированными

· стохастическими

Детерминированное соотношение – это тождество или уравнение, которое устанавливает соотношения между переменными в тех случаях, когда информация на выходе системы однозначно определяется информацией на входе.

Стохастические соотношения представляют собой такие зависимости, которые при заданной входной информации дают неопределенный результат на выходе.

Ограничения представляют собой установленные пределы изменения переменных или ограничивающее условие распределения или расходования тех или иных средств, например, запасов энергии, времени. Они могут вводиться либо разработчиком (искусственные ограничения), либо самой системой вследствие присущих ей свойств (естественные ограничения).

Целевая функция или функция критериев – это отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения.