Дифференциальное уравнение (2) называется однородным, если функция f(x; y) является однородной функцией нулевого порядка

Функция является однородной функцией нулевого порядка, если f(lx, ly) = f(x, y) = y(y/x). Однородное дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены y/x = u, откуда y′ = xu′ + u. Подставляя эти выражения в (2), получим xu′ + u = y(u), т.е. xu′ = y(u) – u. Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение с разделяющими переменными.

Если уравнение имеет дифференциальную форму (3), то оно называется однородной, если P(x; y) и Q(x; y) являются однородными функциями одинакового порядка: P(lx, ly) = lⁿP(x, y), Q(lx, ly) = lⁿQ(x, y).

И в этом случае однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной y/x = u, откуда dy = udx + xdu.

Уравнение y′ = f((ax + by + c)/(dx + ey + f)), где а, b, с, d, e, f – действительные числа, сводится к уравнению с разделяющимися переменными после замены переменных x = u + α и y = v + β, где α и β - числа. Числа α и β находятся из уравнений aα + bβ + c = 0, dα + eβ + f = 0, которые получаются из следующих соотношений: ax + aα + by + bβ + c = ax + by, dx + dα + ey + eβ + f = dx + ey.

@ Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения (x² – y²)dx + 2xydy = 0.

Решение: После замены переменной y/x = u получим уравнение x²(1 + u²)dx + 2x³udu = 0. После почленного деления уравнения на x³(1 + u²) получаем: , которое легко интегрируется: ln/x/ + ln(1 + u²) = ln/c/. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: x² + y² = cx.

Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде y′ + p(x)y = g(x) (5), где p(x) и g(x) – заданные функции.

Особенность линейного дифференциального уравнения в том, что функция y и ее производная y′ входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка решается методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной). Рассматривается линейное однородное дифференциальное уравнение без правой части y′ + p(x)y = 0, решение которого имеет вид . После этого постоянная с заменяется функцией c(x) и, решение однородного уравнения подставляя в неоднородное уравнение (5), получается уравнение для функции c(x):

,

.

В итоге, общее решение уравнения (5) имеет вид

.

@ Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения: y′ + 2xy = 2x.

Решение: Подставим p(x) = 2x и g(x) = 2x в общее решение линейного дифференциального уравнения:

.

Уравнение вида при n ¹ 0; 1 называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению z′ + (1 – n)p(x)z = (1 – n)g(x) заменой переменного y^1-n = z. На самом деле z′ = (1 – n)y^-ny′ = – (1 – n)y^-np(x)y + (1 – n)g(x), z′ + (1 – n)p(x)z = (1 – n)g(x).