Векторные пространства и их преобразования

Линейным векторным пространством называется множество векто­ров (любой природы), для которых определено два действия: сложение и умножение на произвольное число. Линейные n-мерные векторные пространства будем обозначать L_n.

Если х={х₁,х₂,...х_n} є L_n иу={у₁, у₂,... у_п}є L, то

1. х = у , если х_і = у_і , i = 1, n

2. х+у= {х₁ + y₁,х₂ + у₂,. ...х_п +у_п „ } єL_n.

3. mх = {mx₁, тх₂,..., mx_п} є L_n.

Приведенные определения позволяют рассматривать векторы обще­го вида не обязательно геометрической природы.

Примеры линейных пространств:

а) множество геометрических векторов R₃;

б) множество всех многочленов Рп(х), степени не превосходящей n;

в) множество матриц A_mn, размерности mn;

г) пусть х_i,i = 1,n -количество i-го сырьевого продукта, измеренного в подходящих единицах, тогда векторы видах={х₁,х₂,...х_n}могут задавать суточную потребность предприятия в сырье, запасы сырья, хранящего­ся на складе и т.д.

Любая совокупность n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве образует базис в этом пространстве (определение линей­ной зависимости и независимости векторов см. в теме 1.2).

Пример 1.5.1. Показать, что система векторов

образует базис в пространстве квадратных матриц

Представить матрицу А₂₂ в виде линейной комбинации векторов S_i, i=l,4.

Составим линейную комбинацию

Mы получили, что линейная комбинация векторов S_i , i=1,n равна нулю лишь в том случае, когда все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Согласно определения (см. тему 1.2) векторы S_i , i=1,n линейно независимы и могут быть использованы в качестве базисных векторов.

Разложение матрицы А₂₂ по базису S_i , i=1,n имеет вид:

Линейное пространство называется евклидовым, если в нем каж­дой паре векторов х, y сопоставлено число, которое называется ска­лярным произведением этих векторов, обозначается (х, у) и удовле­творяет аксиомам:

1.(х, у)=(у, х)

2. (х₁+ х₂ , у) = (х₁, у) + (х₂ , у)

3. (αх, у) = α (х, у);

4. (х, х)>0, х ≠ 0 и (x,x)=0, если х=0.

называется нормой вектора в евклидовом про­странстве.

Неравенство |(х,y)|≤║x║х║y║называется неравенством Коши-Буняковского.

Два вектора евклидового пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (х, у )=0.

Линейные преобразования. Если указано правилоf, по которому каждому вектору х линейного пространства L_n ставится в соответствие единственный вектор уэтого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор).

Преобразование f линейного пространства L называется линейным (линейным оператором), если для любых векторов этого пространств х₁, х₂ , х и любого λєR выполняются условия

Если линейное пространство L n-мерное пространство, а f линейное преобразование (оператор) осуществляющее отображениe y=f(x), x(x₁,x₂,...x_n), у(у₁, y₂, ..., y_n) є L, тo можно построить матрицу этого преобразования

Замечание. Если вектор геометрический, то над ним ставится стрелка.

Пример 1.5.2. Показать, что преобразование y=a x x, где а(а₁,а₂, а₃) -постоянный вектор, х(х₁, x₂, x₃), y(y_1, y_2, y₃ ecть линейное в ли­нейном пространствеL₃ и построить его матрицу А .

Чтобы доказать линейность преобразования y=a x x достаточно проверить свойства (1.5.1).

Пусть x_1, x₂ є L₃ , λєR , тогда у(х₁+ х₂) =а х (х₁+ х₂) = а х х₁ + а х х₂

у(λх)= а х (λх)= λ (а х х), т.е. свойства линейности (1.5.1) выполнены и преобразование y=a x x линейно.

Построим матрицу преобразования

Предположим в линейном пространстве L_n заданы базисы е_i, i=1,n и m_i, i=1, а также матрица A линейного преобразования f в базисе е_i, i=1. Тогда матрица линейного преобразования в базисе m_i, i=1, будет иметь вид

B=T^-1 AT, (1.5.3)

где T -матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример 1.5.3. В базисе e₁ ,e₂ преобразование f имеет матрицу

Найти матрицу преобразования f в базисе m₁₌е₁ - е₂ , т₂=2ё₂+3е₂.

Матрица

(координаты векторов m₁ и т₂ записываются в столбцы, соответственно в первый и второй).