Тема 2. Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными (общий вид). Матрица системы. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные (определенные и неопределенные) и несовместные системы. Теорема Крамера о разрешимости системы n линейных уравнений с n переменными. Решение такой системы: а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса. Понятие о методе Жордана-Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности любой совместной системы линейных уравнений. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Базисное решение. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Понятие о модели Леонтьева. ([1или 6, § 2.1 – 2.7]; [2 или 7, § 2.1, 2.5], или [3, § 2.1 – 2.8], или [4, § 2.1 – 2.8]).

При изучении материала темы следует освоить матричную форму записи заданной системы n линейных уравнений с n переменными и уметь переходить к этой форме от общего вида системы и наоборот. Необходимо знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются совместными (определенными и неопределенными) и несовместными. Надо твердо уяснить, что вопрос о разрешимости системы n линейных уравнений с n переменными устанавливается с помощью теоремы Крамера ([1, или 6, или 3, § 2.2]). Решаются же такие системы различными способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий по сравнению с другими способами решения ряд достоинств: он менее трудоемок, позволяет однозначно установить, является ли данная система определенной, неопределенной или несовместной, а в случае совместности системы – определить число ее линейно независимых уравнений и исключить «лишние».

Метод Жордана–Гаусса [2 или 7, § 2.3, пример 2.49] или [3, § 2.8, пример 2.44] позволяет быстрее, чем классический, решать систему уравнений и потому востребован в прикладных математических курсах. При этом следует иметь в виду, что в реальных прикладных задачах системы уравнений с достаточно большим числом уравнений и переменных решаются с помощью пакетов прикладных программ, например, Excel, MathCAD и др.

Практический интерес в приложениях представляет случай, когда число m уравнений системы меньше числа n переменных . Рассмотрение таких систем приводит к разбиению переменных на базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные и выделению из общего числа решений системы базисных решений, в которых все свободные (неосновные) переменные равны нулю.

Согласно теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы , т.е. . При этом, если (n – число переменных), то система определенная, если – неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Для решения системы m линейных уравнений с n переменными вовсе не требуется находить специально ранги и , а достаточно применить метод Гаусса. Если хотя бы одно из уравнений системы на «прямом ходе» метода Гаусса приводится к виду , то система несовместная, если к виду 0=0, то система совместная и неопределенная. В последнем случае уравнения вида 0=0 исключаются из системы, а члены уравнения с свободными переменными переносятся в правые части уравнений. Далее, используя «обратный ход» метода Гаусса, получают выражения r базисных переменных через свободных, т.е. общее решение системы (см. [1 или 6, пример 2.4], [2 или 7, пример 2.36] или [3, примеры 2.4, 2.44]).

Следует иметь ввиду, что общее число решений совместной системы линейных уравнений бесконечно, в то время как число ее базисных решений конечно и не превосходит числа сочетаний (а точнее , где r – ранг матрицы системы).

Особенностью рассматриваемых далее систем однородных уравнений является то, что они всегда совместны, так как имеют, по крайней мере, нулевое решение (0, 0, ..., 0). Ненулевое решение такие системы имеют только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа переменных, т.е. , или, что то же самое, когда определитель матрицы А равен нулю: .

Следует отметить, что матричное уравнение , к которому сводится система линейных уравнений (А – матрица системы, Х – неизвестный столбец переменных, В – столбец свободных членов) может рассматриваться и в случае, когда Х – неизвестная матрица. Вообще матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х имеют вид (1), (2), (3), где А, В, С, Х – матрицы таких размеров, что все используемые операции возможны, а левые и правые части этих матричных уравнений представляют матрицы одинаковых размеров.

Решения матричных уравнений (1) и (2) соответственно и (если А – квадратная матрица, ), а матричного уравнения (3) (если А и С – квадратные матрицы и , ).