Суть гравиметрического меода определения параметров

Земного эллипсоида.

Гравиметрический метод заключается в определении внешнего гравитационного поля земного эллипсоида. Это поле выражается силой тяжести или потенциалом силы тяжести. В теории фигуры Земли принято пользоваться потенциалом силы тяжести.

Потенциал силы тяжести определяется внутренним строением Земли точнее плотностью распределения её внутренних масс. Он зависит от положения точки на земном эллипсоиде. Обычно потенциал в данной точке М выражают следующей функцией:

(22)

РИС. 3

где - потенциал силы тяжести, создаваемый телом массы М, в точке с координатами Положение элементарной точки массой определяется координатами (кси, эта, дзета).

- угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси;

- гравитационная постоянная.

Величина в (22) является функцией расстояния и координат элементарной массы . Она выражается через так называемые номиналы Лежандра. Подстановка в (22) и интегрирование по в предположении эллипсоидальности Земли приводит к выражению потенциала земного эллипсоида. В первом приближении ограничиваются полиномами Лежандра второй степени. Задаваясь конкретным значением составляется уравнение эллипсоида:

(23)

где: (24)

есть сжатие эллипсоида.

, (25)

, (26)

C и А - моменты инерции относительнои осей ε и ζ;

- масса Земли;

- значение ускорения силы тяжести на экваторе эллипсоида.

Как следует из (26) для определения сжатия эллипсоида необходимо знать С и А. Эти величины определяются на основании (23). При этом в различных точках поверхности Земли измеряется сила тяжести. Значение силы тяжести приравниваются к производным потенциала по нормали. На основе таких уравнений находятся неизвестные параметры, среди которых имеют место С и А. По ним в соответствии с (25) определяется сжатие эллипсоида и значение на экваторе, соответствующая большой полуоси эллипсоида. По измеренным значениям силы тяжести можно определить и массу Земли, которая получается при интегрировании (22).

Второй путь определения параметров эллипсоида гравиметрическим методом заключается в следующем:

1. Считается, что уровенной является поверхность эллипсоида;

2. Потенциальная функция силы притяжения имеет конечные и непрерывные первые производные. На бесконечности она удовлетворяет условию регулярности

(27)

где - расстояние от центра масс эллипсоида до притягиваемой точки.

3. Второй дифференциальный оператор по обращается в нуль, то есть

(28)

4. На поверхности эллипсоида, то есть на уровенной поверхности

(29)

В первые эта задача была решена Пицетти. В 1945 году её решение было повторено М. Я. Молодецким.

Настоящее решение ищется в виде полинома

(30)

где: A_n - некоторые постоянные коыффициенты;

U - приведенная широта точки;

- функция, определяемая как

(31)

P_n (cosU) - полином Лежандра первого рода степени n.При таких условиях находится потенциальная функция силы тяжести.

(32)

Её дифференцирование по нормали к эллипсоиду приводят к виду

(33)

или

(34)

Заменяя приведенную широту геодезической получают

(35)

Настоящую формулу называют формулой Пицетти-Сомильяни.

На её основе Клеро установил следующую связь

(36)

где

(37)

а (38)

- значение силы тяжести на полюсе и экваторе земного эллипсоида.

Второе уравнение Клеро имеет вид

(39)

Используя наблюдения силы тяжести на поверхности Земли и формулы ( ) - ( ) можно определить параметры земного эллипсоида а и